Ασύμπτωτη της συνάρτησης

Ασύμπτωτη μιας συνάρτησης ονομάζεται η γραμμή η οποία τείνει να συμπέσει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης χωρίς όμως τελικά να συμπέσει. Συνήθως αναφέρεται σε ευθεία γραμμή, αλλά ο όρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιαδήποτε καμπύλη. Υπάρχουν τρία είδη ασύμπτωτης ευθείας:

• κατακόρυφη ασύμπτωτη
• οριζόντια ασύμπτωτη
• πλάγια ασύμπτωτη

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
$\mathbf {y} =f(x)$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
$\mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση $y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d$ Ρητή συνάρτηση $y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}$ Άρρητη συνάρτηση $y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση $y=a^{x}$ Λογαριθμική συνάρτηση $y=\log _{a}(x)$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ημίτονο $y=\sin x$ Συνημίτονο $y=\cos x$ Εφαπτομένη $y=\tan x$

Επειδή οι οριζόντιες και οι πλάγιες ασύμπτωτες μελετώνται με τον ίδιο τρόπο, υπάρχει και ο όρος πλαγιοοριζόντιες ασύμπτωτες που περιλαμβάνει τόσο τις οριζόντιες όσο και τις πλάγιες ασύμπτωτες.

Μαθηματικός ορισμός

Συνάρτηση υπερβολή με δύο ασύμπτωτες.

Μια καμπύλη g(x)=y είναι ασύμπτωτη της συνάρτησης f(x) αν $\lim _{x\rightarrow \pm \infty }(f(x)-g(x))=0$ ή αν $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)=\pm \infty$ και $f(x)\neq g(x)$ σε περιοχή του x₀.

Πιο συγκεκριμένα στις ευθείες:

Μία ευθεία y=αx+β είναι πλαγιοοριζόντια ασύμπτωτη της συνάρτησης f(x) (οριζόντια ασύμπτωτη αν α=0, πλάγια αν α διάφορο του 0) αν και μόνο αν $\lim _{x\rightarrow \pm \infty }(f(x)-(\alpha x+\beta ))=0$

Μία ευθεία x=β είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης f(x) αν και μόνο αν $\lim _{x\rightarrow \beta }f(x)=\pm \infty$

Χρησιμότητα

Οι ασύμπτωτες δείχνουν με ποιο τρόπο οι συναρτήσεις τείνουν στο άπειρο. Επιπλέον, οι ασύμπτωτες μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις της συνάρτησης σε ορισμένες περιοχές του πεδίου ορισμού.