Στην γραμμική άλγεβρα , μία γραμμική απεικόνιση (ή γραμμικός μετασχηματισμός ) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
σώματος
F
{\displaystyle F}
συνάρτηση
T
:
V
→
W
{\displaystyle T:V\to W}
T
(
u
+
v
)
=
T
(
u
)
+
T
(
v
)
{\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)}
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
T
(
α
u
)
=
α
T
(
u
)
{\displaystyle T(\alpha u)=\alpha T(u)}
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
α
∈
F
{\displaystyle \alpha \in F}
Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση
T
(
α
u
+
β
v
)
=
α
T
(
u
)
+
β
T
(
v
)
{\displaystyle T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)}
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
α
,
β
∈
F
{\displaystyle \alpha ,\beta \in F}
Αν οι διανυσματικοί χώροι
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός .
Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση
T
:
U
→
W
{\displaystyle T:U\to W}
T
(
0
U
)
=
0
W
{\displaystyle T(0_{U})=0_{W}}
Για οποιαδήποτε
n
{\displaystyle n}
u
1
,
u
2
,
…
,
u
n
∈
V
{\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\in V}
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
∈
F
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F}
T
(
α
1
u
1
+
…
+
α
n
u
n
)
=
α
1
T
(
u
1
)
+
…
+
α
n
T
(
u
n
)
{\displaystyle T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n})=\alpha _{1}T(u_{1})+\ldots +\alpha _{n}T(u_{n})}
Πίνακας μετασχηματισμού
Επεξεργασία
Σε κάθε διανυσματικό χώρο
U
{\displaystyle U}
πίνακα .
Έστω
b
1
,
…
,
b
n
{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}
βάση του διανυσματικού χώρου
U
{\displaystyle U}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
u
=
u
1
b
1
+
…
+
u
n
b
n
{\displaystyle u=u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n}}
για κάποια
b
1
,
…
,
b
n
∈
F
{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in F}
T
:
U
→
W
{\displaystyle T:U\to W}
T
(
u
)
=
T
(
u
1
b
1
+
…
+
u
n
b
n
)
=
u
1
T
(
b
1
)
+
…
+
u
n
T
(
b
n
)
{\displaystyle T(u)=T(u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n})=u_{1}T(b_{1})+\ldots +u_{n}T(b_{n})}
Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων
[
↑
↑
T
(
b
1
)
⋯
T
(
b
n
)
↓
↓
]
⋅
u
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&&{\Big \uparrow }\\T(b_{1})&\cdots &T(b_{n})\\{\Big \downarrow }&&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {u} .}
Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα
T
(
b
1
)
,
…
,
T
(
b
n
)
∈
W
{\displaystyle T(b_{1}),\ldots ,T(b_{n})\in W}
u
{\displaystyle u}
T
{\displaystyle T}
U
{\displaystyle U}
Παράδειγμα 1ο: Περιστροφή
Επεξεργασία
Περιστροφή του
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
.
Περιστροφή του
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
.
Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
{
(
1
0
)
,
(
0
1
)
}
.
{\displaystyle \left\lbrace {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace .}
Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι
T
(
0
)
↦
(
cos
θ
,
sin
θ
)
,
T
(
1
)
↦
(
−
sin
θ
,
cos
θ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T(0)&\mapsto (\cos \theta ,\sin \theta ),\\T(1)&\mapsto (-\sin \theta ,\cos \theta ).\\\end{aligned}}}
Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από
R
(
θ
)
=
[
↑
↑
T
(
e
1
)
T
(
e
2
)
↓
↓
]
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
.
{\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&{\Big \uparrow }\\T(e_{1})&T(e_{2})\\{\Big \downarrow }&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}
