Δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης

Το δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι θεσιακό σύστημα αρίθμησης το οποίο χρησιμοποιεί το 12 ως την αριθμητική βάση του.

Περιγραφή Επεξεργασία

Ιδιότητες και προέλευση Επεξεργασία

Οι φάλαγγες (οριζόντιες αρθρώσεις) των δαχτύλων χρησιμοποιούνται σε κάποιους πολιτισμούς για τη μέτρηση έως το 12 με τη χρήση του ενός χεριού

Ο αριθμός 12 είναι εξαιρετικά υψηλός σύνθετος αριθμός καθώς διαθέτει μεγάλο αριθμό διαιρετών με 6 διαιρέτες (1 2 3 4 6 12) σε σχέση με την αριθμητική του θέση. Οι παράγοντες του (2 και 3) είναι πρώτοι αριθμοί κάτι που σημαίνει πως οι αντίστροφοι όλων των αριθμών που πραγματοποιούνται με το 3 δεν δημιουργούν άρρητους αριθμούς όταν διαιρούνται. Έτσι αποτελεί βολικό σύστημα για τον υπολογισμό συχνά χρησιμοποιούμενων κλασμάτων όπως ¹⁄₂, ¹⁄₃, ²⁄₃, ¹⁄₄ και ³⁄₄ καθώς δίνει αποτελέσματα χωρίς επαναλαμβανόμενα ψηφία.

Η προέλευση του πιθανώς πηγάζει από τους 12 σεληνιακούς κύκλους του έτους, καθώς και από το γεγονός ότι υπάρχει 12 φάλαγγες (αρθρώσεις, οι οριζόντιες γραμμές των δαχτύλων) στα 4 δάχτυλα του χεριού εκτός του αντίχειρα. Σε κάποιες περιοχές της Ασίας η μέτρηση με το ένα χέρι γίνεται έως το 12 με την καταμέτρηση των φαλαγγών των δαχτύλων και τον αντίχειρα να χρησιμοποιείται ως δείκτης της καταμέτρησης, κάτι που εξηγεί την προέλευση του δωδεκαδικού συστήματος καθώς και των πολλαπλάσιων της αριθμητικής βάσης του 12 όπως π.χ. το εξηνταδικό σύστημα.^[1]^[2]^[3]Επιπλέον, το δωδεκαδικό σύστημα είναι ενσωματωμένο σε διάφορα αριθμητικά συστήματα γλωσσών, όπως διάφορες γλώσσες της Νιγηρίας (Τζάντζι, Γκμπίρι-Νιράγκου, Πίτι, Γκουαντάρα),^[4] τη γλώσσα Τσεπάνγκ στο Νεπάλ,^[5] και τη γλώσσα Ντιβέχι στις Μαλδίβες και περιοχές της Ινδίας.

Μονάδες μέτρησης Επεξεργασία

Ιστορικά, οι μονάδες μέτρησης χρόνου σε πολλούς πολιτισμούς υπήρξαν δωδεκαδικές, κάτι που καταδεικνύεται από το γεγονός ότι υπάρχουν 12 μήνες και ζωδιακά σύμβολα σε ένα έτος, ενώ οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν 12 ώρες εντός της ημέρας και αργότερα μετατράπηκε σε 24 όπως και στη σύγχρονη εποχή. Στο παραδοσιακό κινεζικό ημερολόγιο τα ωρολόγια και οι πυξίδες βασίζονται επίσης στο δωδεκαδικό σύστημα.

Σε ότι αφορά τη μέτρηση χώρου και διαστάσεων, το σύστημα κλασμάτων των Ρωμαίων βασίζονταν στο 12, και από εκεί προέκυψε η ουγγιά. Στο βρετανικό αυτοκρατορικό σύστημα μέτρησης το αυτοκρατορικό πόδι απαρτίζεται από 12 ίντσες, μια λίβρα τρόυ αποτελείται από 12 ουγγιές τρόυ, ένα βρετανικό σελίνι απαρτίζεται από 12 παλαιές βρετανικές πένες, ενώ στο νομισματικό σύστημα υπήρχαν διάφορες επιπλέον υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσια (π.χ. 240 πένες = 20 σελίνια). Το δεκαδικό σύστημα με τη μορφή του μετρικού συστήματος αντικατέστησε σε μεγάλο βαθμό το δωδεκαδικό με προέλευση τη Γαλλία, καθώς ιδιαίτερα μετά τη γαλλική επανάσταση οι Γάλλοι επαναστάτες υπήρξαν ακραία υπέρ του δεκαδικού συστήματος αντικαθιστώντας το δωδεκαδικό παντού και φτάνοντας έως το σημείο να ορίσουν εβδομάδες 10 ημερών (γαλλικό δημοκρατικό ημερολόγιο) και ώρες των 100 λεπτών.

Στη χρωματική κλίμακα, υπάρχουν 12 τονικά ύψη σε χαμηλές και υψηλές νότες, κάτι που πηγάζει από την αρχική μουσική κλίμακα των Πυθαγορείων.

Αναπαραστάσεις ψηφίων Επεξεργασία

Εναλλακτική μορφή αναπαράστασης του έντεκα στο δωδεκαδικό σύστημα με τη μορφή του ανεστραμμένου 3

Σε κάποιες μορφές του δωδεκαδικού συστήματος, ο αριθμός δέκα γράφεται με τη μορφή καθέτως ανεστραμμένου 2, ενώ ο αριθμός έντεκα ως καθέτως ανεστραμμένο 3. Η χρήση των συμβόλων αυτών είναι βρετανικής προέλευσης,^[6] και τα σύμβολα αυτά διαθέτουν τη δική τους καταχώρηση στο πρότυπο Unicode από τον Ιούνιο του 2015 (↊ με κωδικό 218A, και ↋ με κωδικό 218B).^[7]^[8]Μια παλαιότερη μορφή αναπαραστάσεων αμερικανικής προέλευσης αποτελούν τα σύμβολα X και ℰ.^[9] Γενικά οι παραστάσεις αυτές προέρχονται από συλλόγους δωδεκαδιστών οι οποίοι δραστηριοποιούνται στην προώθηση και εκμάθηση του δωδεκαδικού συστήματος αρίθμησης με απώτατο στόχο την αντικατάσταση του δεκαδικού συστήματος με το δωδεκαδικό.^[10]^[11]

Κατά τη σύμβαση με τις υπόλοιπες αναπαραστάσεων ψηφίων αριθμητικών βάσεων μεγαλύτερων του 10, εναλλακτικά χρησιμοποιούνται τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, έτσι το δέκα αναπαριστάται ως A και το έντεκα ως B.

Υπάρχουν διάφορες άλλες αναπαραστάσεις, και σε κάποιες από αυτές τις περιπτώσεις χρησιμοποιείται το ελληνικό γράμμα δέλτα (δ) για το δέκα, και το ταυ (τ) ή έψιλον (ε) για το έντεκα.^[12]

Πίνακες τιμών Επεξεργασία

Αντιστοιχία δωδεκαδικών με δεκαδικούς αριθμούς Επεξεργασία

Εκατοντάδες χιλ.		Μυριάδες		Χιλιάδες		Εκατοντάδες		Δεκάδες		Μονάδες		Υπομονάδες		Υποδεκάδες
100.000₁₀	49A54₁₂	10.000₁₀	5954₁₂	1.000₁₀	6B4₁₂	100₁₀	84₁₂	10₁₀	A₁₂	1₁₀	1₁₂	0,1₁₀	0,12497₁₂	0,01₁₀	0,015343A0B62A68781B059₁₂
200.000₁₀	978A8₁₂	20.000₁₀	B6A8₁₂	2.000₁₀	11A8₁₂	200₁₀	148₁₂	20₁₀	18₁₂	2₁₀	2₁₂	0,2₁₀	0,2497₁₂	0,02₁₀	0,02A68781B05915343A0B6₁₂
300.000₁₀	125740₁₂	30.000₁₀	15440₁₂	3.000₁₀	18A0₁₂	300₁₀	210₁₂	30₁₀	26₁₂	3₁₀	3₁₂	0,3₁₀	0,37249₁₂	0,03₁₀	0,043A0B62A68781B059153₁₂
400.000₁₀	173594₁₂	40.000₁₀	1B194₁₂	4.000₁₀	2394₁₂	400₁₀	294₁₂	40₁₀	34₁₂	4₁₀	4₁₂	0,4₁₀	0,4972₁₂	0,04₁₀	0,05915343A0B62A68781B₁₂
500.000₁₀	201428₁₂	50.000₁₀	24B28₁₂	5.000₁₀	2A88₁₂	500₁₀	358₁₂	50₁₀	42₁₂	5₁₀	5₁₂	0,5₁₀	0,6₁₂	0,05₁₀	0,07249₁₂
600.000₁₀	24B280₁₂	60.000₁₀	2A880₁₂	6.000₁₀	3580₁₂	600₁₀	420₁₂	60₁₀	50₁₂	6₁₀	6₁₂	0,6₁₀	0,7249₁₂	0,06₁₀	0,08781B05915343A0B62A6₁₂
700.000₁₀	299114₁₂	70.000₁₀	34614₁₂	7.000₁₀	4074₁₂	700₁₀	4A4₁₂	70₁₀	5A₁₂	7₁₀	7₁₂	0,7₁₀	0,84972₁₂	0,07₁₀	0,0A0B62A68781B05915343₁₂
800.000₁₀	326B68₁₂	80.000₁₀	3A368₁₂	8.000₁₀	4768₁₂	800₁₀	568₁₂	80₁₀	68₁₂	8₁₀	8₁₂	0,8₁₀	0,9724	0,08₁₀	0,0B62A68781B05915343A₁₂
900.000₁₀	374A00₁₂	90.000₁₀	44100₁₂	9.000₁₀	5260₁₂	900₁₀	630₁₂	90₁₀	76₁₂	9₁₀	9₁₂	0,9₁₀	0,A9724₁₂	0,09₁₀	0,10B62A68781B05915343A₁₂
1.000.000₁₀	402854₁₂	100.000₁₀	49A54₁₂	10.000₁₀	5954₁₂	1.000₁₀	6B4₁₂	100₁₀	84₁₂	10₁₀	A₁₂	1₁₀	1₁₂	0,10₁₀	0,12497₁₂
1.010.000₁₀	4085A8₁₂	110.000₁₀	537A8₁₂	11.000₁₀	6448₁₂	1.100₁₀	778₁₂	110₁₀	92₁₂	11₁₀	B₁₂	1,1₁₀	1,124A	0,11₁₀	0,110000000002₁₂
1.020.000₁₀	412340₁₂	120.000₁₀	59540₁₂	12.000₁₀	6B40₁₂	1.200₁₀	840₁₂	120₁₀	A0₁₂	12₁₀	10₁₂	1,2₁₀	1,2497₁₂	0,12₁₀	0,11BBBBBBBBBA₁₂

Πίνακας πολλαπλασιασμού Επεξεργασία

Δυνάμεις Επεξεργασία

Εκθέτης	2		3		4		5		6		7
Εκθέτης	Δεκ.	Δωδ.	Δεκ.	Δωδ.	Δεκ.	Δωδ.	Δεκ.	Δωδ.	Δεκ.	Δωδ.	Δεκ.	Δωδ.
⁶	64	54	729	509	4.096	2454	15.625	9.061	46.656	23.000	117.649	58.101
⁵	32	28	243	183	1.024	714	3.125	1.985	7.776	4.600	16.807	9.887
⁴	16	14	81	69	256	194	625	441	1.296	900	2.401	1.481
³	8	8	27	23	64	54	125	B5	216	160	343	247
²	4	4	9	9	16	14	25	21	36	30	49	41
¹	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7	7
⁻¹	0,5	0,6	0,3	0,4	0,25	0,3	0,2	0,2497	0,16	0,2	0,142857	0,186B35
⁻²	0,25	0,3	0,1	0,14	0,0625	0,09	0,04	0,05915343B0 A62B68781A	0,027	0,04	0,0204081632653 06122448979591 836734693877551	0,02A322547B05B 644B9380A908996 741A615771283A

Κλάσματα Επεξεργασία

Κλάσμα	Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή	Θεσιακή αναπαράσταση	Θεσιακή αναπαράσταση	Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή	Κλάσμα
Δεκαδική βάση Παράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης: 2, 5 Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από τη βάση: 3 Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από τη βάση: 11 Όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι: 7			Δωδεκαδική βάση Παράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης: 2, 3 Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από τη βάση: A Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από τη βάση: 11 Όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι: 7
1/2	2	0,5	0,6	2	1/2
1/3	3	0,3	0,4	3	1/3
1/4	2	0,25	0,3	2	1/4
1/5	5	0,2	0,2497	5	1/5
1/6	2, 3	0,16	0,2	2, 3	1/6
1/7	7	0,142857	0,186B35	7	1/7
1/8	2	0,125	0,16	2	1/8
1/9	3	0,1	0,14	3	1/9
1/10	2, 5	0,1	0,12497	2, 5	1/B
1/11	11	0,09	0,1	A	1/A
1/12	2, 3	0,083	0,1	2, 3	1/10
1/13	13	0,076923	0,0A	11	1/11
1/14	2, 7	0,0714285	0,0B35186	2, 7	1/12
1/15	3, 5	0,06	0,09724	3, 5	1/13
1/16	2	0,0625	0,09	2	1/14
1/17	17	0,0588235294117647	0,08579214A36429B7	15	1/15
1/18	2, 3	0,05	0,08	2, 3	1/16
1/19	19	0,052631578947368421	0,076A45	17	1/17
1/20	2, 5	0,05	0,07249	2, 5	1/18
1/21	3, 7	0,047619	0,06B3518	3, 7	1/19
1/22	2, 11	0,045	0,06	2, A	1/1B
1/23	23	0,0434782608695652173913	0,06316948421	1A	1/1A
1/24	2, 3	0,0416	0,06	2, 3	1/20
1/25	5	0,04	0,05915343B0A62B68781A	5	1/21
1/26	2, 13	0,0384615	0,056	2, 11	1/22
1/27	3	0,037	0,054	3	1/23
1/28	2, 7	0,03571428	0,05186B3	2, 7	1/24
1/29	29	0,0344827586206896551724137931	0,04A7	25	1/25
1/30	2, 3, 5	0,03	0,04972	2, 3, 5	1/26
1/31	31	0,032258064516129	0,0478BB093598166A74311A28623B55	27	1/27
1/32	2	0,03125	0,046	2	1/28
1/33	3, 11	0,03	0,04	3, A	1/29
1/34	2, 17	0,02941176470588235	0,0429B708579214A36	2, 15	1/2B
1/35	5, 7	0,0285714	0,0414559A3931	5, 7	1/2A
1/36	2, 3	0,027	0,04	2, 3	1/30

Άρρητοι αριθμοί Επεξεργασία

Αλγεβρικοί άρρητοι αριθμοί	Δεκαδικό σύστημα	Δωδεκαδικό σύστημα
√2 (το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου 1x1)	1,41421356237309,,, (≈ 1,4142)	1,4A79170B07A857,,, (≈ 1,5)
√3 (το μήκος της διαγωνίου του κύβου, ή το διπλάσιο του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου)	1,73205080756887,,, (≈ 1,732)	1,894A97AA968704,,, (≈ 1,895)
√5 (το μήκος της διαγωνίου σε ορθογώνιο 1×2)	2,2360679774997,,, (≈ 2,236)	2,29AA132540589,,, (≈ 2,2B)
φ (η χρυσή τομή = $\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ )	1,6180339887498,,, (≈ 1,618)	1,74AA6772802B4,,, (≈ 1,75)
Υπερβατικοί άρρητοι αριθμοί	Δεκαδικό σύστημα	Δωδεκαδικό σύστημα
π (αναλογία της περιφέρειας προς τη διάμετρο)	3,1415926535897932384626433 8327950288419716939937510,,, (≈ 3,1416)	3,184809493A918664573B6211A A151551B05729290B7809B492,,, (≈ 3,1848)
e (η βάση του φυσικού λογάριθμου)	2,718281828459045,,, (≈ 2,718)	2,8752360698219A8,,, (≈ 2,875)

Παραπομπές Επεξεργασία

↑ Nishikawa, Yoshiaki (2002). «ヒマラヤの満月と十二進法 (The Full Moon in the Himalayas and the Duodecimal System)». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 29 Μαρτίου 2008. Ανακτήθηκε στις 24 Μαρτίου 2008.
↑ Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-39340-1. . Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk.
↑ Macey, Samuel L. (1989). The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure. Atlanta, Georgia: University of Georgia Press. σελ. 92. ISBN 978-0-8203-3796-8.
↑ Matsushita, Shuji (1998). «Decimal vs. Duodecimal: An interaction between two systems of numeration». 2nd Meeting of the AFLANG, October 1998, Tokyo. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2008-10-05. https://web.archive.org/web/20081005230737/http://www3.aa.tufs.ac.jp/~P_aflang/TEXTS/oct98/decimal.html. Ανακτήθηκε στις 2011-05-29.
↑ Mazaudon, Martine (2002). «Les principes de construction du nombre dans les langues tibéto-birmanes». Στο: François, Jacques. La Pluralité (PDF). Leuven: Peeters. σελίδες 91–119. ISBN 90-429-1295-2. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 28 Μαρτίου 2016. Ανακτήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2017.
↑ Pitman, Isaac (ed.): A triple (twelve gross) Gems of Wisdom. London 1860
↑ «Unicode 8.0.0». Unicode Consortium. Ανακτήθηκε στις 30 Μαΐου 2016.
↑ «The Unicode Standard 8.0» (PDF). Ανακτήθηκε στις 18 Ιουλίου 2014.
↑ Andrews, Frank Emerson (1935). New Numbers: How Acceptance of a Duodecimal (12) Base Would Simplify Mathematics. σελ. 52.
↑ «The Dozenal Society of America | Promoting base twelve and alternative base mathematics». www.dozenal.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2017.
↑ «DSGB». www.dozenalsociety.org.uk. Ανακτήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2017.
↑ De Vlieger, Michael (2010). «Symbology Overview». The Duodecimal Bulletin 4X [59] (2). http://www.dozenal.org/drupal/sites_bck/default/files/DuodecimalBulletinIssue4a2_0.pdf.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι Επεξεργασία

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
Δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης

(Αγγλικά) Dozenal Society of America
(Αγγλικά) Dozenal Society of Great Britain

[1] Nishikawa, Yoshiaki (2002). «ヒマラヤの満月と十二進法 (The Full Moon in the Himalayas and the Duodecimal System)». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 29 Μαρτίου 2008. Ανακτήθηκε στις 24 Μαρτίου 2008.

[Ifrah-2] Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-39340-1. . Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk.

[Macey-3] Macey, Samuel L. (1989). The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure. Atlanta, Georgia: University of Georgia Press. σελ. 92. ISBN 978-0-8203-3796-8.

[4] Matsushita, Shuji (1998). «Decimal vs. Duodecimal: An interaction between two systems of numeration». 2nd Meeting of the AFLANG, October 1998, Tokyo. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2008-10-05. https://web.archive.org/web/20081005230737/http://www3.aa.tufs.ac.jp/~P_aflang/TEXTS/oct98/decimal.html. Ανακτήθηκε στις 2011-05-29.

[5] Mazaudon, Martine (2002). «Les principes de construction du nombre dans les langues tibéto-birmanes». Στο: François, Jacques. La Pluralité (PDF). Leuven: Peeters. σελίδες 91–119. ISBN 90-429-1295-2. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 28 Μαρτίου 2016. Ανακτήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2017.

[6] Pitman, Isaac (ed.): A triple (twelve gross) Gems of Wisdom. London 1860

[Unicode8-7] «Unicode 8.0.0». Unicode Consortium. Ανακτήθηκε στις 30 Μαΐου 2016.

[8] «The Unicode Standard 8.0» (PDF). Ανακτήθηκε στις 18 Ιουλίου 2014.

[New_Numbers_1935-9] Andrews, Frank Emerson (1935). New Numbers: How Acceptance of a Duodecimal (12) Base Would Simplify Mathematics. σελ. 52.

[10] «The Dozenal Society of America | Promoting base twelve and alternative base mathematics». www.dozenal.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2017.

[11] «DSGB». www.dozenalsociety.org.uk. Ανακτήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2017.

[Symbology_Overview-12] De Vlieger, Michael (2010). «Symbology Overview». The Duodecimal Bulletin 4X [59] (2). http://www.dozenal.org/drupal/sites_bck/default/files/DuodecimalBulletinIssue4a2_0.pdf.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]