Κρουστική συνάρτηση

Η κρουστική συνάρτηση ή συνάρτηση δέλτα ή (γενικευμένη) συνάρτηση Ντιράκ είναι μαθηματική αναπράσταση μίας ποσότητας η οποία περιγράφει κάποιο φαινόμενο που μοιάζει σε αυτό της κρούσης. Η μεταβλητή αυτή ποσότητα, αν ήταν φυσική, θα παρουσίαζε ελάχιστη διακύμανση, παραμένοντας κάτω από μία ελάχιστη τιμή, σε όλη τη διάρκεια του χρόνου πριν και μετά τη στιγμή της κρούσης ενώ τη στιγμή ακριβώς της κρούσης θα αυξανόταν ακαριαία μέχρι τη μέγιστη τιμή της.

Γραφική παράσταση της κρουστικής συνάρτησης.

Ορισμοί

Η συνάρτηση δέλτα συνήθως ορίζεται από τις δύο ακόλουθες ιδιότητες:

Η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ (κρουστική συνάρτηση) ως το όριο της ακολουθίας κανονικών κατανομών με κέντρο το μηδέν, $D_{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{\pi }}}e^{-nx^{2}}$ όπου $n=1/a^{2}$ και το $a$ τείνει στο μηδέν.

$\delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$

και

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$

Επειδή δεν είναι συνάρτηση με την συνηθισμένη έννοια, αλλά αποτελεί μέλος των γενικευμένων συναρτήσεων (ή κατανομών), ακολουθεί ένας αυστηρότερος ορισμός.

Ως κατανομή

Έστω η καλή συνάρτηση:

$D_{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{\pi }}}e^{-nx^{2}}$

Από την θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων είναι γνωστό πως μια γενικευμένη συνάρτηση $\chi (x)$ μπορεί να οριστεί ως μια ακολουθία καλών συναρτήσεων $h_{n}(x)$, έτσι ώστε για κάθε καλή συνάρτηση $g(x)$, το όριο

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(x)g(x)dx=_{def}\int _{-\infty }^{+\infty }\chi (x)g(x)dx$

υπάρχει.

Έτσι, η παραπάνω ακολουθία συναρτήσεων $D_{n}(x)$ ορίζει την κατανομή Ντιράκ $\delta (x)$, γνωστή και ως κρουστική συνάρτηση.

Ιδιότητες

Δράση επί καλής συνάρτησης

Έστω η καλή συνάρτηση $g(x)$, τότε:

$\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x)g(x)dx=g(0)$

Αυτό φαίνεται εύκολα ακολούθως:

${\Bigg |}\int _{-\infty }^{+\infty }{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}e^{-nx^{2}}g(x)dx-g(0){\Bigg |}={\Bigg |}\int _{-\infty }^{+\infty }{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}e^{-nx^{2}}(g(x)-g(0))dx{\Bigg |}\leq \max {\Big \{}{\Big |}{\frac {dg}{dx}}{\Big |}{\Big \}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}|x|e^{-nx^{2}}dx={\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}\max {\Big \{}{\Big |}{\frac {dg}{dx}}{\Big |}{\Big \}}{\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{}}0.$

Δράση επί αρκετά καλής συνάρτησης

Έστω η αρκετά καλή συνάρτηση $f(x)$, τότε:

$f(x)\delta (x)=f(0)\delta (x)$

Αυτό φαίνεται εύκολα ακολούθως:

$\int _{-\infty }^{+\infty }[f(x)\delta (x)]g(x)dx=f(0)g(0)=\int _{-\infty }^{+\infty }[f(0)\delta (x)]g(x)dx$

Συνάρτηση βήματος

Έστω η ακόλουθη «συνάρτηση βήματος»:

$H(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x<0\end{cases}}$

Έστω τώρα η κατανομή (ή γενικευμένη συνάρτηση) $\theta (x)$ με τοπικές τιμές $1$ και $0$ για $x>0$ και $x<0$ αντίστοιχα, δηλαδή:

$\theta (x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x<0\end{cases}}$

Τότε, για μια καλή συνάρτηση $g(x)$ έχουμε:

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {d\theta (x)}{dx}}g(x)dx=[\theta (x)g(x)]_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }\theta (x){\frac {dg(x)}{dx}}dx=0-\int _{-\infty }^{+\infty }\theta (x){\frac {dg(x)}{dx}}dx=-\int _{-\infty }^{+\infty }H(x){\frac {dg(x)}{dx}}dx=-\int _{0}^{+\infty }{\frac {dg(x)}{dx}}dx=g(0)$

Οπότε, βάσει της πρώτης ιδιότητας της $\delta (x)$ παίρνουμε:

${\frac {d\theta (x)}{dx}}=\delta (x)$

Μετασχηματισμός Φουριέ

Γνωρίζουμε πως ο μετασχηματισμός Φουριέ μιας συνάρτησης $f(x)$ δίνεται από το ολοκλήρωμα:

${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-ix\omega }\,dx.$

Συνεπώς για την συνάρτηση $\delta (x)$, βάσει της πρώτης ιδιότητας έχουμε:

$F\{\delta (x)\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x)e^{-i\omega x}dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-i\omega \cdot 0}dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$

Από το παραπάνω αποτέλεσμα προκύπτουν και οι ακόλουθες σχέσεις:

• $\delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega x}d\omega$
• $1=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x)e^{-i\omega x}dx$
• $\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x)dx=1$ , για $\omega =0$

Εφαρμογές

Μοντέλα

Η κρουστική συνάρτηση είναι ένα μαθηματικό μοντέλο για τη μελέτη φαινομένων στα οποία κάποια μεγέθη γίνονται πολύ μεγάλα για πολύ λίγο χρόνο. Ένα φυσικό παράδειγμα είναι η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος σε έναν ανοικτό διακόπτη, όταν εμφανίζεται σπινθήρας. Άλλο φυσικό παράδειγμα είναι η δύναμη σε σκληρό επίπεδο πάτωμα από μια μπάλα του μπιλιάρδου που αναπηδά σε αυτό.

Σύστημα υπό μελέτη

Η κρουστική συνάρτηση είναι η είσοδος ενός συστήματος όταν θέλουμε να μελετήσουμε την κρουστική του απόκριση. Η έξοδος ενός συστήματος που δέχεται ως είσοδο την κρουστική συνάρτηση είναι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος.

Κβαντική μηχανική

Ένα πολύ γνωστό πρόβλημα στην μη σχετικιστική κβαντική μηχανική είναι αυτό της κίνησης ενός σωματιδίου σε ένα πηγάδι δυναμικού δέλτα.

Πηγές

• Dennery, Philippe; Krzywicki, André (1996), Mathematics for Physicists, Dover, ISBN 9780486691930, http://store.doverpublications.com/0486691934.html .
• Καραγιάννης Γεώργιος, Πέτρος Α. Μαραγκός (2011). Βασικές Αρχές Σημάτων & Συστημάτων. Παπασωτηρίου. ISBN 960-718-289-8. 
• Weisstein, Eric W. "Delta Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.(Αγγλικά)