Μάγισσα της Ανιέσι

Η Μάγισσα της Ανιέσι είναι μία πολύ γνωστή μαθηματική καμπύλη, η οποία έχει πάρει το όνομά της από την Ιταλίδα μαθηματικό Μαρία Ανιέσι (Maria Agnesi) που τη μελέτησε εκετεταμένα αν και δεν την εφηύρε εκείνη. Το όνομα της «μάγισσας της Ανιέσι» ακολουθεί και επιβεβαιώνει τον «νόμο του Στίγκλερ» σύμφωνα με τον οποίον καμία επιστημονική ανακάλυψη δεν έχει πάρει το όνομα εκείνου που την έκανε. Ο λόγος που η καμπύλη αυτή πήρε το όνομά της από την Ανιέσι είναι ίσως ότι η μαθηματικός την συμπεριέλαβε στο βιβλίο της «Instituzioni Analytiche», το πρώτο βιβλίο αλγεβρικού λογισμού που έγραψε γυναίκα, το οποίο είχε την καινοτομία να είναι είναι γραμμένο σε απλή και κατανοητή γλώσσα στα Ιταλικά και όχι στα Λατινικά κάνοντας τα μαθηματικά για πρώτη φορά προσιτά και ευχάριστα στους μαθητές. Το ότι ονομάστηκε «μάγισσα» και όχι απλά καμπύλη της Ανιέσι οφείλεται σε γλωσσική παρεξήγηση. Ο Λουίτζι Γκουίντο Γκράντι (Luigi Guido Grandi, 1671-1742), καθηγητής μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Πίζας , ονόμασε την καμπύλη versiera («γυριστή», από το λατινικό vertere = γυρίζω ). Κατά τύχη, υπάρχει η σχεδόν ομόηχη ιταλική λέξη aversiera, που σημαίνει «γυναίκα του διαβόλου». Έτσι, λόγω λάθους στη μετάφραση, η versiera του Γκράντι έγινε aversiera και τελικά ονομάστηκε «μάγισσα της Ανιέσι». Η συγκεκριμένη καμπύλη παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Η πλάγια όψη ενός λόφου ή ενός θαλάσσιου κύματος είναι παρόμοια με την καμπύλη, ενώ ισοδυναμεί και με τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της κατανομής Κοσί. Από τη μελέτη της προκύπτουν τα εξής:

Η «μάγισσα της Ανιέσι» για τιμές της παραμέτρου d =2, d = 4, d = 8 και d = 16 (όπου d, η διάμετρος του κύκλου με κέντρο Κ(0, d/2))

Τύπος

$f(x)={\frac {d^{3}}{x^{2}+d^{2}}}$ ,όπου d η διάμετρος του κύκλου με κέντρο $K{\Bigl (}0,{\frac {d}{2}}{\Bigr )}$και $d\in (0,+\infty )$

Πεδίο ορισμού

$D_{f}=R$

Σύνολο τιμών

$f(D_{f})=\{y\in R/0<y\leq d\}$

Ρίζες

Η f(x) δεν έχει καμία ρίζα

Συμμετρία

$f(-x)={\frac {d^{3}}{(-x)^{2}+d^{2}}}={\frac {d^{3}}{x^{2}+d^{2}}}=f(x)$

Η συνάρτηση είναι άρτια.

Συνέχεια

Η f(x) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων.

Σημεία τομής

Τομή με τον άξονα y'y

$f(0)={\frac {d^{3}}{0^{2}+d^{2}}}={\frac {d^{3}}{d^{2}}}=d$

Η $C_{f}$ τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Α(0, d)

Η $C_{f}$ δεν τέμνει τον x'x.

Πρώτη παράγωγος

$f'(x)={\frac {-2xd^{3}}{(x^{2}+d^{2})^{2}}}$

Μονοτονία

$f\uparrow (-\infty ,0]$ και $f\downarrow [0,+\infty )$

Ακρότατα

$\max f(x)=d\quad \gamma \iota \alpha \quad x=0$

Δεν έχει ελάχιστο.

Αόριστο ολοκλήρωμα

$I=\int {\frac {d^{3}}{x^{2}+d^{2}}}dx=d^{2}*arctan({\frac {x}{d}})$

Όρια

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }f(x)=0$