Μαθηματική αναγωγή

Η μαθηματική αναγωγή ονομάζεται η μετατροπή μιας έκφρασης σε ταυτόσιμη αλλά απλούστερη μορφή. Χρησιμοποιείται σε όλους σχεδόν τους κλάδους των μαθηματικών. Στα κλάσματα, (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται και «απλοποίηση» και ονομάζεται η επανεγγραφή των όρων του κλάσματος με απλούστερους όρους. Στα ριζικά (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται η επανεγγραφή του περιεχομένου των ριζικών με απλούστερο τρόπο.

Στη Γραμμική Άλγεβρα η (μαθηματική) αναγωγή εφαρμόζει κανόνες για να μετατρέψει την εξίσωση, το σύστημα εξισώσεων ή τους πίνακες (μήτρες) σε ισοδύναμη αλλά απλούστερη μορφή.

Τέλος η (μαθηματική) αναγωγή αναφέρεται και στην τεχνική της ολοκλήρωσης κατά μέλη για τη διευκόλυνση του υπολογισμού τους με την επανεγγραφή τους ως έκφρασης που περιέχει απλούστερα (στον υπολογισμό) ολοκληρώματα.

Στατική Αναγωγή ή Αναγωγή Guyan

Στη δυναμική ανάλυση. η «στατική αναγωγή» ή «αναγωγή Guyan» αναφέρεται στη (μαθηματική) αναγωγή των βαθμών ελευθερίας. Η στατική αναγωγή μπορεί επίσης να εφαρμοστεί για την απλοποίηση ενός προβλήματος γραμμικής άλγεβρας. Π.χ. έστω το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

$\mathrm {\alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x_{2}=\beta _{1}}$
$\mathrm {\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}=\beta _{2}}$

• όπου α,β οι γνωστοί και Χ οι άγνωστοι όροι, που τοποθετούνται σε πίνακες.

Η παραπάνω μορφή γράφεται ισοδύναμα και σε μορφή εξίσωσης πινάκων:

$\mathrm {{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\end{bmatrix}}}$

Αν τώρα β₂=0 και χρειαζόμαστε μόνο τον όρο x₁, η εξίσωση των πινάκων μπορεί να αναχθεί στην ακόλουθη εξίσωση:

$\mathrm {\alpha _{11\alpha \nu .}x_{1}=\beta _{1}}$

Η αναγωγή στον όρο α_11αν. φαίνεται πώς γίνεται αν ξαναγράψουμε το αρχικό σύστημα εξισώσεων στην ακόλουθη μορφή, εφαρμόζοντας την προϋπόθεση β₂=0:

$\mathrm {\alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x_{2}=\beta _{1}\;}$
$\mathrm {\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}=0\;}$

Είναι φανερό τώρα ότι για τη δεύτερη (2^η) εξίσωση ισχύει:

$\mathrm {\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}=0\Leftrightarrow \alpha _{21}x_{1}=-\alpha _{22}x_{2}\Leftrightarrow x_{2}=-{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}x_{1}}$

Αντικαθιστώντας τώρα το x₂ στην πρώτη εξίσωση, αυτή γίνεαι:

$\mathrm {\alpha _{11}x_{1}-\alpha _{12}{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}x_{1}=\beta _{1}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}\alpha _{11}-\alpha _{12}{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}\end{pmatrix}}x_{1}=\beta _{1}}$

Τέλος θέτοντας $\mathrm {\alpha _{11\alpha \nu .}=\alpha _{11}-\alpha _{12}{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}}$ διαμορφώθηκε η «αναγμένη» εξίσωση:

$\mathrm {\alpha _{11\alpha \nu .}x_{1}=\beta _{1}}$

• Παρόμοια αναγωγή μπορεί να γίνει και αν κάποιο από τα α_ij είναι 0, ενώ φυσικά μπορεί ομοίως να αναχθεί το α₂₁ αν β₁=0.