Νόμος των ημιτόνων

Στην γεωμετρία, ο νόμος των ημιτόνων, είναι μία σχέση που ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο και η οποία συνδέει τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου με τα ημίτονα των γωνιών του. Πιο συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$, ισχύει ότι

Τρίγωνο στο οποίο αναγράφονται τα μήκη των πλευρών του $a$, $\beta$, $\gamma$, οι γωνίες του $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\Gamma$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του ακτίνας $R$.

${\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \Gamma }}=2R$,

όπου $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ είναι τα μήκη των πλευρών του, $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\Gamma$ οι γωνίες του, και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Δηλαδή σε ένα τυχόν τρίγωνο ο λόγος της πλευράς προς το ημίτονο της γωνίας που βλέπει προς την πλευρά είναι σταθερός και ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή με $2R$.

Απόδειξη

Ισότητα λόγων

Ύψος $\mathrm {AA'}$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$.

Θα ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας ότι

${\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \Gamma }},$

χρησιμοποιώντας διαφορετικές εκφράσεις για τα ύψη του $\mathrm {AB\Gamma }$. Έστω $\mathrm {AA'}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$. Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {AA'B}$, από τον ορισμό του ημιτόνου $\sin \mathrm {B}$, έχουμε ότι

$\sin \mathrm {B} ={\frac {\mathrm {AA'} }{\gamma }}\Rightarrow \mathrm {AA'} =\gamma \sin \mathrm {B}$.

(1)

Αντίστοιχα, στο $\mathrm {AA'\Gamma }$, έχουμε ότι

$\sin \Gamma ={\frac {\mathrm {AA'} }{\beta }}\Rightarrow \mathrm {AA'} =\beta \sin \Gamma$.

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι

$\gamma \sin \mathrm {B} =\beta \sin \Gamma \Rightarrow {\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \Gamma }}$.

Αντίστοιχα για το ύψος $\mathrm {BB'}$, λαμβάνουμε ότι

$a\sin \Gamma =\gamma \sin \mathrm {A} \Rightarrow {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\gamma }{\sin \Gamma }}$,

και έτσι έπεται το ζητούμενο.

Ισότητα με την διάμετρο

Το τρίγωνο $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ όπου $\mathrm {B\Delta } =2R$.

Αρκεί να δείξουμε ότι ${\tfrac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}=2R$. Θεωρούμε την κάθετη από το $\Gamma$ στην $\mathrm {B\Gamma }$ και $\Delta$ το σημείο που τέμνεται με τον περιεγραμμένο κύκλο του $\mathrm {AB\Gamma }$. Χρησιμοποιώντας την ισότητα των λόγων του νόμου των ημιτόνων (που αποδείξαμε παραπάνω) στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta B}$, έχουμε ότι

${\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\sin \angle \mathrm {B\Delta \Gamma } }}={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\sin \angle \mathrm {B\Gamma \Delta } }}$.

Αφού η $\angle \mathrm {B\Delta \Gamma }$ βαίνει στο ίδιο τόξο με την $\angle \mathrm {BA\Gamma }$ έχουμε ότι $\angle \mathrm {B\Delta \Gamma } =\angle \mathrm {BA\Gamma } =\mathrm {A}$. Επίσης αφού $\angle \mathrm {\Delta \Gamma B} =90^{o}$, ισχύει ότι $\mathrm {B\Delta } =2R$. Συνεπώς,

${\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\sin \angle \mathrm {B\Delta \Gamma } }}={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\sin \angle \mathrm {B\Gamma \Delta } }}={\frac {2R}{\sin 90^{o}}}=2R.$

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Cut the Knot: Νόμος ημιτόνων και συνημιτόνων
• Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων
• Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων

Ελληνικά άρθρα

• Θ. Ξένος (1988). «Αποδείξεις γεωμετρικών προτάσεων με τη βοήθεια των νόμων ημιτόνων και συνημιτόνων». Ευκλείδης Β΄ (3): 32-34. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3215. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Viher, Radimir; Viher, Dragutin; Koncul, Helena (Μαρτίου 2021). «Applications of the sine and cosine rules for a quadrilateral». The Mathematical Gazette 105 (562): 70–77. doi:10.1017/mag.2021.9. 
• Kershner, R. B. (Μαΐου 1971). «The Law of Sines and Law of Cosines for Polygons». Mathematics Magazine 44 (3): 150–153. doi:10.1080/0025570X.1971.11976127. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1971-05_44_3/page/150. 
• Grinberg, Eric L.; Orhon, Mehmet (7 Φεβρουαρίου 2021). «Morley Trisectors and the Law of Sines with Reflections». The American Mathematical Monthly 128 (2): 163–167. doi:10.1080/00029890.2021.1845559. 
• Mahoney, John F. (Φεβρουαρίου 2005). «Benjamin Banneker and the Law of Sines». The Mathematics Teacher 98 (6): 390–393. doi:10.5951/MT.98.6.0390. https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_2005-02_98_6/page/390. 
• Mitchell, Douglas W. (Μαρτίου 2009). «93.10 A Heron-type area formula in terms of sines». The Mathematical Gazette 93 (526): 108–109. doi:10.1017/S002555720018430X. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2009-03_93_526/page/108. 

Δείτε επίσης

• Νόμος των συνημιτόνων
• Νόμος των εφαπτομένων
• Τριγωνομετρία
• Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου