Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Στην γεωμετρία, το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο είναι ένα τετράπλευρο με όλες τις γωνίες ορθές. Ισοδύναμα είναι ένα παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία.

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Οι διαγώνιοι του είναι ίσες και διχοτομούνται.

Ειδική περίπτωση ορθογωνίου είναι το τετράγωνο, που επιπλέον έχει και όλες του τις πλευρές ίσες.

Ιδιότητες

• Σε ένα ορθογώνιο όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι ορθές.

Απόδειξη  

Έστω ένα παραλληλόγραμμο με ${\hat {\mathrm {A} }}=90^{o}$. Τότε αφού σε ένα παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, έχουμε ότι ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{o}$. Επίσης, οι διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές, άρα ${\hat {\mathrm {B} }}=180^{o}-{\hat {\mathrm {A} }}=180^{o}-90^{o}=90^{o}$. Παρόμοια και ${\hat {\mathrm {\Delta } }}=90^{o}$ και καταλήγουμε ότι όλες οι γωνίες είναι ορθές.

• Σε κάθε ορθογώνιο οι διαγώνιοι είναι ίσες.

Απόδειξη  

Τα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ έχουν την $\mathrm {AB}$ κοινή, $\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {\Delta A}$ και την ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {B} }}$ ως ορθές. Από τα κριτήρια ισότητας τριγώνων, έπεται ότι $\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {B\Delta }$.

• Κάθε ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος του ορθογωνίου.

Απόδειξη  

Από την προηγούμενη ιδιότητα οι διαγώνιοι σε ένα ορθογώνιο είναι ίσες. Από τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων, οι διαγώνιοι διχοτομούνται. Επομένως, $\mathrm {OA} =\mathrm {OB} =\mathrm {O\Gamma } =\mathrm {O\Delta }$.

• Ένα ορθογώνιο έχει δύο άξονες συμμετρίας.

Οι δύο άξονες συμμετρίας ενός ορθογωνίου.

• Κριτήρια ορθογωνίου: Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

1. Είναι παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία.
2. Είναι παραλληλόγραμμο με ίσες διαγωνίους.
3. Όλες οι γωνίες του είναι ορθές.

Μετρικές σχέσεις

Αν $\alpha =\mathrm {AB}$ και $\beta =\mathrm {B\Gamma }$, τότε

• Η περίμετρος του ορθογωνίου δίνεται από $\Pi =2\cdot (\alpha +\beta )$.
• Από το πυθαγόρειο θεώρημα, η διαγώνιος του ορθογωνίου έχει μήκος ${\textstyle d={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}$.
• Το θεώρημα της Βρετανικής σημαίας, δηλώνει ότι για κάθε ορθογώνιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {P}$ ένα τυχόν σημείο εσωτερικό του ορθογωνίου, ισχύει ότι

$(\mathrm {AP} )^{2}+(\mathrm {\Gamma P} )^{2}=(\mathrm {BP} )^{2}+(\mathrm {\Delta P} )^{2}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο: $\mathrm {E} =\mathrm {AB} \cdot \mathrm {B\Gamma }$.

Το ορθογώνιο που δημιουργείται από τις διχοτόμους του παραλληλογράμμου.

Εφαρμογές

Διχοτόμοι ενός παραλληλογράμμου

Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός παραλληλογράμμου δημιουργούν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Πλακοστρώσεις

Τα ορθογώνιο παραλληλόγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο με αρκετούς διαφορετικούς τρόπους, πολλοί από τους οποίους χρησιμοποιούνται π.χ. σε πεζοδρόμια.

Περεταίρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• «Εγγραφή ορθογωνίου σε δοσμένο τρίγωνο: η Γεωμετρική και η Αλγεβρική μέθοδος». Ευκλείδης Β΄ (1): 32-35. 1977. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Crilly, Tony (Νοεμβρίου 1994). «A supergolden rectangle». The Mathematical Gazette 78 (483): 320–325. doi:10.2307/3620208. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1994-11_78_483/page/320. 
• Wagon, Stan (Αυγούστου 1987). «Fourteen Proofs of a Result About Tiling a Rectangle». The American Mathematical Monthly 94 (7): 601–617. doi:10.1080/00029890.1987.12000693. 
• Schwartz, Richard Evan (Μαρτίου 2019). «Pushing a Rectangle down a Path». The Mathematical Intelligencer 41 (1): 7–10. doi:10.1007/s00283-018-9819-1. 

Δείτε επίσης

• Παραλληλόγραμμο
• Ρόμβος
• Τετράγωνο
• Ορθογώνιο τρίγωνο
• Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο