Πείραμα του Κάβεντις

Το πείραμα του Κάβεντις (Cavendish experiment), που διεξήγαγε για πρώτη φορά το 1797-1798 ο Βρετανός επιστήμονας Χένρι Κάβεντις, υπήρξε το πρώτο πείραμα που μέτρησε τη δύναμη της βαρύτητας ανάμεσα σε δύο μάζες στο εργαστήριο, και το πρώτο που έδωσε ακριβείς τιμές για την παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας.

Εξαιτίας των συμβάσεων που χρησιμοποιούσαν τότε, η βαρυτική σταθερά δεν εμφανίζεται άμεσα στο έργο του Κάβεντις: Το αποτέλεσμα του πειράματος εκφράσθηκε αρχικώς ως η «ειδική βαρύτητα» της Γης, ή ισοδύναμα ως η μάζα της Γης. Το πείραμα απέφερε πράγματι τις πρώτες κάπως ακριβείς τιμές και για τις ποσότητες αυτές. Η ιδέα του επινοήθηκε πριν το 1783 από τον φυσικό φιλόσοφο Τζων Μίτσελ, ο οποίος κατασκεύασε και έναν στροφικό ζυγό για τη διεξαγωγή του. Ωστόσο, ο Μίτσελ πέθανε το 1793 χωρίς να προλάβει να ολοκληρώσει το έργο του. Μετά τον θάνατό του η συσκευή πέρασε στον φυσικό φιλόσοφο Φράνσις Γουόλαστον (Francis John Hyde Wollaston, 1762-1823) και μετά στον Χένρι Κάβεντις, ο οποίος κατασκεύασε εκ νέου τη συσκευή, κρατώντας όμως το αρχικό σχέδιο του Μίτσελ. Στη συνέχεια, ο Κάβεντις διεξήγαγε μια σειρά μετρήσεων με αυτή και ανέφερε τα αποτελέσματά του στα πρακτικά της Βασιλικής Εταιρείας (Philosophical Transactions of the Royal Society) το 1798.

Το πείραμα

Η συσκευή που κατασκεύασε ο Κάβεντις ήταν ένας στροφικός ζυγός φτιαγμένος από μία ξύλινη ράβδο μήκους 1,8 μέτρου, που κρεμόταν από ένα σύρμα και έφερε από μία μολυβένια σφαίρα σε κάθε άκρο. Η κάθε σφαίρα είχε διάμετρο 2 ίντσες (5,1 εκατοστά) και μάζα 730 γραμμάρια. Δύο άλλες, πολύ βαρύτερες, μολυβένιες σφαίρες, διαμέτρου 12 ιντσών και μάζας 158 χιλιογράμμων η καθεμιά, βρίσκονταν κοντά στις μικρότερες, τοποθετημένες πάνω σε ξεχωριστό στήριγμα. Το πείραμα μετρούσε την ασθενή βαρυτική έλξη μεταξύ των μεγάλων και των μικρών σφαιρών.

Σχέδιο της πειραματικής διατάξεως του Κάβεντις μαζί με το κτίσμα στο οποίο στεγαζόταν. Οι μεγάλες σφαίρες κρέμονταν από ένα πλαίσιο, έτσι ώστε να είναι δυνατό να μετατοπισθούν σε θέσεις δίπλα στις μικρές σφαίρες με τη βοήθεια μιας τροχαλίας από το εξωτερικό του χώρου. Είναι το Σχ. 1 της δημοσιεύσεως του Κάβεντις.

Λεπτομέρεια που δείχνει τον βραχίονα του στροφικού ζυγού (m), τη μία μεγάλη σφαίρα (W), την αντίστοιχη μικρή σφαίρα (x) και το κουτί που την απομόνωνε (ABCDE).

Οι δύο μεγάλες σφαίρες ήταν τοποθετημένες στην κάθε πλευρά του οριζόντιου ξύλινου βραχίονα (ράβδου) του ζυγού. Η αμοιβαία τους έλξη με τις μικρές σφαίρες προκαλούσε την ελαφρότατη στρέψη του βραχίονα, κάτι που συνέστρεφε το σύρμα από το οποίο αυτός κρεμόταν. Ο βραχίονας σταματούσε να στρέφεται όταν έφθανε σε μία γωνία για την οποία η δύναμη από τη συστροφή του σύρματος εξισορροπούσε την ολική ελκτική βαρυτική δύναμη που ασκούσαν αμφότερες οι μεγαλύτερες στις μικρότερες μολυβένιες σφαίρες. Μετρώντας τη γωνία της ράβδου και γνωρίζοντας τη δύναμη από τη συστροφή (ροπή) του σύρματος για δοσμένη γωνία, ο Κάβεντις μπορούσε να υπολογίσει τη δύναμη ανάμεσα στα ζεύγη των μαζών. Επειδή η βαρυτική δύναμη που ασκούσε η Γη πάνω στη μικρή σφαίρα μπορούσε να μετρηθεί απευθείας ζυγίζοντάς την, ο λόγος των δύο δυνάμεων μαζί με τη γνωστή διάμετρο της Γης επέτρεπε τον υπολογισμό της μάζας και της πυκνότητας της Γης, με χρήση του νόμου της βαρύτητας του Νεύτωνα. Ο Κάβεντις αποκλήθηκε εξ αυτού «ο πρώτος άνθρωπος που ζύγισε τη Γη».

Συγκεκριμένα, βρήκε ότι η μέση πυκνότητα της Γης ήταν 5,448 ± 0,033 φορές η πυκνότητα του νερού (εξαιτίας ενός απλού αριθμητικού λάθους στον υπολογισμό του, που ανακαλύφθηκε το 1821 από τον Φράνσις Μπέιλυ, στο κείμενο της εργασίας του εμφανίζεται η τιμή 5,480 ± 0,038).

Προκειμένου να προσδιορίσει τη στροφική σταθερά του σύρματος, δηλαδή τη ροπή που στρέφει το σύρμα κατά μία δεδομένη γωνία, π.χ. μιας μοίρας, ο Βρετανός φυσικός χρονομέτρησε τη φυσική περίοδο P ταλαντώσεως της ράβδου καθώς ταλαντωνόταν αργά δεξιόστροφα και αριστερόστροφα με σταθερά επαναφοράς τη στροφική σταθερά του σύρματος. Η περίοδος ήταν περίπου 20 λεπτά. Αυτή η σταθερά μπορούσε να υπολογισθεί από την P, τη μάζα και τις διαστάσεις του ζυγού. Στην πραγματικότητα, η ράβδος δεν βρισκόταν ποτέ σε ηρεμία και ο Κάβεντις έπρεπε να μετρήσει τη γωνία της ράβδου ενώ αυτή ταλαντωνόταν.

Ο εξοπλισμός του Κάβεντις ήταν αξιοσημείωτα ευαίσθητος για την εποχή του. Η δύναμη που συνέστρεφε το σύρμα ήταν πολύ μικρή, 1,74 × 10⁻⁷ N, περίπου 50.000.000 φορές μικρότερη από το βάρος των μικρών σφαιρών. Για να αποφύγει τον επηρεασμό των μετρήσεων από ρεύματα αέρα και θερμοκρασιακές μεταβολές, ο Κάβεντις τοποθέτησε ολόκληρη τη συσκευή μέσα σε ένα ξύλινο κουτί με διαστάσεις περίπου 2×10×10 πόδια (0,61 × 3 × 3 μέτρα), το οποίο με τη σειρά του βρισκόταν σε κλειστό υπόστεγο στο κτήμα του. Μέσα από δύο οπές στα τοιχώματα του στεγάστρου ο Κάβεντις παρατηρούσε με μικρά τηλεσκόπια την κίνηση της οριζόντιας ράβδου του ζυγού. Η κίνηση αυτή είχε πλάτος μόλις 4,1 χιλιοστά του μέτρου. Ο Βρετανός φυσικός μπόρεσε να μετρήσει αυτή τη μικρή κίνηση με ακρίβεια καλύτερη του 1/100 της ίντσας με τη χρήση βερνιέρων στα άκρα της ράβδου. Η ακρίβεια αυτή ξεπεράστηκε μόλις με το πείραμα του Τσαρλς Βέρνον Μπόυζ το 1895. Ο στροφικός ζυγός του Μίτσελ έγινε η κυρίαρχη τεχνική για τη μέτρηση της βαρυτικής σταθεράς (G) και οι περισσότερες σύγχρονες μετρήσεις ακόμα χρησιμοποιούν παραλλαγές της μεθόδου. Με αυτό τον τρόπο το πείραμα έγινε «το» Πείραμα του Κάβεντις.

Προσδιόρισε ο Κάβεντις την G;

Η έκφραση του νευτώνειου Νόμου της παγκόσμιας έλξεως με όρους μιας βαρυτικής σταθεράς δεν καθιερώθηκε παρά πολύ μετά την εποχή του Κάβεντις. Μία από τις πρώτες αναφορές στην G χρονολογείται από το 1873, 75 έτη μετά το πείραμά του.

Ο Κάβεντις εξέφρασε το αποτέλεσμά του σε σχέση με την πυκνότητα της Γης: Αναφερόταν στην αλληλογραφία του για το πείραμά του ως «ζύγιση του κόσμου». Μεταγενέστεροι συγγραφείς μετέτρεψαν τα αποτελέσματά του με τους σύγχρονους όρους.

$G=g{\frac {R_{\text{earth}}^{2}}{M_{\text{earth}}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{earth}}\rho _{\text{earth}}}}\,$

Μετά τη μετατροπή στο Διεθνές Σύστημα μονάδων, η τιμή του Κάβεντις για την πυκνότητα της Γης, 5,448 gr cm⁻³, δίνει

G = 6,74 × 10⁻¹¹m³ kgr^–1 sec⁻²,

που διαφέρει μόλις κατά 1% από τη σύγχρονη τιμή των 6,67384 × 10⁻¹¹m³ kgr^–1 sec⁻².

Για τον λόγο αυτό, κάποιοι ιστορικοί της επιστήμης έχουν υποστηρίξει ότι ο Κάβεντις δεν μέτρησε τη βαρυτική σταθερά. Ωστόσο, οι φυσικοί υιοθετούν συχνά μονάδες στις οποίες η G έχει άλλη μορφή: π.χ. η γκαουσιανή βαρυτική σταθερά που χρησιμοποιείται στη διαστημική δυναμική είναι μια οριζόμενη σταθερά και το πείραμα του Κάβεντις μπορεί να θεωρηθεί ως μέτρησή της. Κατά την εποχή του Κάβεντις οι φυσικοί χρησιμοποιούσαν τις ίδιες μονάδες για τη μάζα και την ενέργεια, παίρνοντας το g ως μια πρότυπη επιτάχυνση. Επειδή λοιπόν η ακτίνα της Γης ήταν γνωστή, η πυκνότητά της είχε τον ρόλο μιας αντίστροφης βαρυτικής σταθεράς. Η πυκνότητα της Γης ήταν συνεπώς μια «περιζήτητη» ποσότητα, και είχαν γίνει παλαιότερες προσπάθειες για τη μέτρησή της, όπως το Πείραμα του Σιχάλιον το 1774.

Για τους λόγους αυτούς οι φυσικοί γενικώς πιστώνουν τον Καβεντις με την πρώτη μέτρηση της σταθεράς της παγκόσμιας έλξεως.

Η εξαγωγή της G και η μάζα της Γης

Για τους ορισμούς των όρων δείτε το σχήμα δεξιά και τον πίνακα στο τέλος της ενότητας.

Διάγραμμα του στροφικού ζυγού

Οι σύγχρονοι φυσικοί (αλλά όχι ο Κάβεντις) θα υπολόγιζαν με τον παρακάτω τρόπο τα αποτελέσματα από το πείραμα. Από τον νόμο του Hooke, η ροπή που ασκείται στο σύρμα είναι ανάλογη της γωνίας θ κατά την οποία περιστρέφεται ο ζυγός: τ = κθ, όπου κ είναι ο στροφικός συντελεστής του σύρματος. Ωστόσο, η ροπή μπορεί να γραφεί και ως γινόμενο των ελκτικών δυνάμεων ανάμεσα στις δύο σφαίρες και της αποστάσεώς τους από το σύρμα αναρτήσεως. Επειδή υπάρχουν δύο ζεύγη σφαιρών, η καθεμιά εκ των οποίων δέχεται δύναμη F σε απόσταση L/2 από τον άξονα περιστροφής, η ροπή είναι ίση με LF. Εξισώνοντας τις δύο σχέσεις για τη ροπή εξάγεται ότι:

$\kappa \theta \ =LF\,$

Για την F ο Νόμος της παγκόσμιας έλξεως του Νεύτωνα απαιτεί να είναι ίση με:

$F={\frac {GmM}{r^{2}}}\,$

Αντικαθιστώντας την F στην πρώτη εξίσωση έχουμε:

$\kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,$

Για να προσδιορίσει τον στροφικό συντελεστή (κ) του σύρματος, ο Κάβεντις μέτρησε τη φυσική περίοδο ταλαντώσεως T του ζυγού:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}$

Με την παραδοχή ότι η μάζα της ράβδου είναι αμελητέα η ροπή αδράνειας του ζυγού οφείλεται αποκλειστικά στις μικρές σφαίρες:

$I=m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}=2m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{2}}\,$,

και έτσι:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}\,$

Επιλύοντας αυτή την εξίσωση ως προς κ, αντικαθιστώντας στην (1) και αναδιατάσσοντας για τη G, παίρνουμε το αποτέλεσμα:

$G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}\theta }{MT^{2}}}\,$

Με γνωστή τη σταθερά G, η έλξη ενός σώματος στη γήινη επιφάνεια από τη Γη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογισθεί η μάζα της Γης και η μέση της πυκνότητα:

$mg={\frac {GmM_{earth}}{R_{earth}^{2}}}\,$

$M_{earth}={\frac {gR_{earth}^{2}}{G}}\,$

$\rho _{earth}={\frac {M_{earth}}{{\tfrac {4}{3}}\pi R_{earth}^{3}}}={\frac {3g}{4\pi R_{earth}G}}\,$

Ορισμοί συμβόλων
Σύμβολο	Μονάδα	Ορισμός
θ	ακτίνια	Εκτροπή του στροφικού ζυγού από τη θέση ισορροπίας
F	N	Βαρυτική δύναμη ανάμεσα στις μάζες M και m
G	m3 kg−1 s−2	Σταθερά της Παγκόσμιας έλξης
m	kg	Μάζα της μικρής μολυβένιας σφαίρας
M	kg	Μάζα της μεγάλης μολυβένιας σφαίρας
r	m	Απόσταση ανάμεσα στα κέντρα των μικρών και των μεγάλων σφαιρών όταν ο ζυγός αποκλίνει
L	m	Μήκος της ράβδου ανάμεσα στα κέντρα των μικρών σφαιρών
κ	N m rad−1	Στροφικός συντελεστής του σύρματος
I	kg m2	Ροπή αδρανείας της ράβδου με τις μικρές σφαίρες
T	s	Περίοδος ταλαντώσεων του στροφικού ζυγού
g	m s−2	Επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης

Πηγές

• Boys, C. Vernon (1894). «On the Newtonian constant of gravitation». Nature 50 (1292): 330–4. doi:10.1038/050330a0. Bibcode: 1894Natur..50..330.. https://books.google.com/?id=ZrloHemOmUEC&pg=PA353. Ανακτήθηκε στις 2013-12-30. 
• Cavendish, Henry (1798). «Experiments to Determine the Density of the Earth». Στο: MacKenzie, A.S. Scientific Memoirs Vol.9: The Laws of Gravitation. American Book Co. (δημοσιεύτηκε 1900). σελίδες 59–105. Ανακτήθηκε στις 30 Δεκεμβρίου 2013.  Online αντίγραφο της δημοσιεύσεως του Κάβεντις του 1798, και άλλες πρώιμες μετρήσεις της βαρυτικής σταθεράς.
• Clotfelter, B.E. (1987). «The Cavendish experiment as Cavendish knew it». American Journal of Physics 55 (3): 210–213. doi:10.1119/1.15214. Bibcode: 1987AmJPh..55..210C. 
• Falconer, Isobel (1999). «Henry Cavendish: the man and the measurement». Measurement Science and Technology 10 (6): 470–477. doi:10.1088/0957-0233/10/6/310. Bibcode: 1999MeScT..10..470F. 
• «Gravitation Constant and Mean Density of the Earth». Encyclopædia Britannica, 11th Ed.. 12. The Encyclopædia Britannica Co.. 1910, σσ. 385–389. https://books.google.com/books?id=DgTALFa3sa4C&pg=PA385. Ανακτήθηκε στις 2013-12-30. 
• Hodges, Laurent (1999). «The Michell-Cavendish Experiment, faculty website, Iowa State Univ». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 6 Σεπτεμβρίου 2017. Ανακτήθηκε στις 30 Δεκεμβρίου 2013.  Discusses Michell's contributions, and whether Cavendish determined G.
• Lally, Sean P. (1999). «Henry Cavendish and the Density of the Earth». The Physics Teacher 37 (1): 34–37. doi:10.1119/1.880145. Bibcode: 1999PhTea..37...34L. 
• McCormmach, Russell· Jungnickel, Christa (1996). Cavendish. Philadelphia, Pennsylvania: Αμερικανική Φιλοσοφική Εταιρεία. ISBN 0-87169-220-1. Ανακτήθηκε στις 30 Δεκεμβρίου 2013. 
• Poynting, John H. (1894). The Mean Density of the Earth: An essay to which the Adams prize was adjudged in 1893. Λονδίνο: C. Griffin & Co. Ανακτήθηκε στις 30 Δεκεμβρίου 2013.  Review of gravity measurements since 1740.
•  Το παρόν λήμμα ενσωματώνει κείμενο από έκδοση που είναι πλέον κοινό κτήμα: Chisholm, Hugh, επιμ.. (1911) «Gravitation» Εγκυκλοπαίδεια Μπριτάννικα (11η έκδοση) Cambridge University Press 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Το πείραμα στις Διαλέξεις του Φάινμαν
• «Η πλάγια βαρύτητα στο υπόγειο», The Citizen Scientist, 1 Ιουλίου 2005. «Σπιτικό» πείραμα του Κάβεντις, με υπολογισμό των αποτελεσμάτων και τις αναγκαίες προφυλάξεις για την αποφυγή επιδράσεων ανέμου και ηλεκτροστατικών.
• «Big G», στο Physics Central, ανακτήθηκε στις 8/12/2013. Πείραμα στο Πανεπιστήμιο της Ουάσινγκτον για τη μέτρηση της βαρυτικής σταθεράς με χρήση παραλλαγής της μεθόδου του Κάβεντις.
• Eöt-Wash Group, Univ. of Washington. «The Controversy over Newton's Gravitational Constant». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 4 Μαρτίου 2016. Ανακτήθηκε στις 8 Δεκεμβρίου 2013. . Δίνει την τρέχουσα κατάσταση ως προς τις μετρήσεις του G.
• Μοντέλο του στροφικού ζυγού του Κάβεντις στο Μουσείο της Επιστήμης του Λονδίνου
• «Ζυγίζοντας τη Γη» - υπόβαθρο και πείραμα