Συζυγής μιγαδικός αριθμός

Στα μαθηματικά, συζυγής μιγαδικός αριθμός ή συζυγής αριθμός ή μιγαδικός συζυγής είναι γνώρισμα των μιγαδικών αριθμών, με τους οποίους πραγματεύεται η μιγαδική ανάλυση. Στη θεωρία των μιγαδικών αριθμών, δύο αριθμοί λέγονται εξ' ορισμού συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί όταν, αυτοί έχουν ίσα πραγματικά και αντίθετα φανταστικά μέρη.

Γεωμετρική αναπαράσταση του $z$ και του συζυγούς του ${\bar {z}}$ στο μιγαδικό επίπεδο. Ο ${\bar {z}}$ αποτελεί τον κατοπτρισμό του $z$ ως προς τον άξονα των πραγματικών

Για παράδειγμα, ο μιγαδικός συζυγής του αριθμού $a+ib$, είναι ο αριθμός $a-ib$.

Η γεωμετρική απεικόνιση δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο εμφανίζει κατοπτρική συμμετρία ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών (βλ. διπλανό σχήμα).

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση του Όιλερ, μπορεί να αποδειχθεί, ότι δύο συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί σε πολική μορφή, έχουν ίσα μέτρα και αντίθετα ορίσματα.

Ισχύει, δηλαδή, ότι ο μιγαδικός συζυγής του $\rho e^{i\phi }$ είναι ο αριθμός $\rho e^{-i\phi }$.

Συμβολισμός

Ο μιγαδικός συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού $z$ έχει επικρατήσει διεθνώς να συμβολίζεται ως ${\bar {z}}$ ή $z^{*}\!$. Ο πρώτος συμβολισμός (${\bar {z}}$) χρησιμοποιείται κυρίως στα καθαρά μαθηματικά, ώστε να αποφεύγεται η σύγχυση με το συμβολισμού του συζυγή ανάστροφου ενός πίνακα, ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί γενίκευση του μιγαδικού συζυγούς. Στη Φυσική, χρησιμοποιείται κυρίως ο δεύτερος συμβολισμός, με τον αστερίσκο ($z^{*}\!$), ενώ ο συζυγής ανάστροφος συμβολίζεται με τον οβελίσκο ($z$^†), οπότε δεν υφίσταται σύγχυση μεταξύ των συμβολισμών.

Ιδιότητες των μιγαδικών συζυγών αριθμών

Για ένα μιγαδικό αριθμό $z$, τον συζυγή και το μέτρο του ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

• $|z|^{2}=z{\bar {z}}$
• $|z|=|{\bar {z}}|=|-z|=|{\overline {-z}}|$
• ${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$
• ${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$
• ${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$
• ${\bar {z}}=z$ αν και μόνο αν $Im(z)=0$
• ${\bar {z}}=-z$ αν και μόνο αν $Re(z)=0$
• ${\overline {\left({\bar {z}}\right)}}=z$
• ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},\ z\neq 0$

Χρήσεις

Οι συζυγείς μιγαδικοί είναι πολύ σημαντικοί στην εύρεση των ριζών των πολυωνύμων. Σύμφωνα με το θεώρημα συζυγών μιγαδικών ριζών, αν ένας μιγαδικός αριθμός είναι ρίζα ενός πολυωνύμου μιας μεταβλητής με πραγματικούς συντελεστές (όπως η δευτεροβάθμια εξίσωση), τότε και ο μιγαδικός συζυγής του αποτελεί ρίζα του αυτού πολυωνύμου.