Τριγωνική ανισότητα
| Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Η τριγωνική ανισότητα στα μαθηματικά είναι μία έκφραση του ότι «μεταξύ δύο σημείων, συντομωτέρα οδός η ευθεία». Συγκεκριμένα εκφράζει ότι σε ένα τρίγωνο, το μήκος κάθε πλευράς είναι μικρότερο από το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο πλευρών, καθώς και μεγαλύτερο από τη διαφορά τους. Αλγεβρικά, η τριγωνική ανισότητα εκφράζεται ως το καρτεσιανό γινόμενο των συντεταγμένων των κορυφών ενός τριγώνου στο επίπεδο.
Στη μαθηματική ανάλυση Επεξεργασία
Ας είναι x και y δύο πραγματικοί αριθμοί. Η τριγωνική ανισότητα γράφεται
όπου με |x| συμβολίζουμε την απόλυτη τιμή του αριθμού x.
Γενικότερα, σε έναν μετρικό χώρο (X,d) η τριγωνική ανισότητα λαβαίνεται ως αξίωμα:
και σε έναν νορμικό χώρο (V,||.||):
για οποιαδήποτε διανύσματα x,y του V.
Στην ευκλείδεια γεωμετρία Επεξεργασία
- Τριγωνική ανισότητα: Κάθε πλευρά σε τρίγωνο είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.
Απόδειξη: Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ. Προεκτείνουμε την γ προς το Α και παίρνουμε ΑΔ = β. Το τρίγωνο ΑΓΔ δηλαδή είναι ισοσκελές, άρα Δ = ΑΓΔ < ΒΓΔ και έτσι α < β + γ.
Με κυκλική εναλλαγή προκύπτει επίσης ότι β < γ + α και γ < α + β.
Εφόσον τώρα είναι β > γ, από το ότι β < γ + α παίρνουμε β - γ < α. Αποδείξαμε τελικά ότι ισχύει
- Η τριγωνική ανισότητα είναι στην πραγματικότητα ένα κριτήριο τριγώνων, υπό την έννοια ότι αν δίνονται τρία μήκη α, β και γ, αυτά θα είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνο αν ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα.
- Πολυγωνική ανισότητα: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία είναι μικρότερο από κάθε τεθλασμένη που ενώνει τα σημεία αυτά.
Απόδειξη: Ας είναι ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα και ΑΣ1Σ2Σ3…Σν-1ΣνΒ μία τεθλασμένη. Φέρνουμε όλες τις διαγωνίους από το Β. Από τις τριγωνικές ανισότητες στα τρίγωνα που σχηματίζονται παίρνουμε διαδοχικά:
Δείτε επίσης Επεξεργασία
 |
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |