Υπεργεωμετρική κατανομή

Η υπεργεωμετρική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής που δίνει το πλήθος των επιτυχιών σε δείγματα (χωρίς επανάληψη) σε έναν πεπερασμένο πληθυσμό μεγέθους , εκ των οποίων τα είναι επιτυχίες.

Παράδειγμα δείγματος από την υπεργεωμετρική κατανομή με , και . Παρατηρήστε ότι η δειγματοληψία γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση.
Συνάρτηση μάζας πιθανότητας για τηυ υπεργεωμετρική κατανομή με , και .
Αθροιστική συνάρτηση κατανομής για τη υπεργεωμετρική κατανομή με , και ..
Υπεργεωμετρική Κατανομή
Συμβολισμός
Παράμετροι

(το μέγεθος του πληθυσμού)
(το πλήθος των επιτυχιών)
(το πλήθος των δειγμάτων)

Φορέας
Συνάρτηση Μάζας
Πιθανότητας
Μέσος
Επικρατούσα τιμή ,
Διακύμανση

Η κατανομή γίνεται εύκολα κατανοητή με την περιγραφή της μέσω ενός μοντέλου με κάλπες. Θεωρούμε μια κάλπη με πράσινες μπάλες (επιτυχίες) και κόκκινες (αποτυχίες). Από την κάλπη παίρνουμε χωρίς επανατοποθέτηση μπάλες. Η υπεργεωμετρική κατανομή μας δίνει την πιθανότητα από αυτές να είναι πράσινες.

Ορισμός Επεξεργασία

Η πιθανότητα να υπάρχουν   επιτυχίες είναι:[1][2][3][4]

 

όπου   είναι ο διωνυμικός συντελεστής.

Από την ταυτότητα Βαντερμόντ προκύπτει ότι ο παραπάνω ορισμός δίνει μία έγκυρη συνάρτηση πιθανότητας.

Παραδείγματα Επεξεργασία

Παράδειγμα 1ο Επεξεργασία

Αν έχουμε   μπάλες εκ των οποίων οι   είναι πράσινες, τότε οι πιθανότητες να διαλέξουμε   πράσινες σε δύο δείγματα δίνονται ως εξής:

Πλήθος επιτυχιών Δείγματα Πιθανότητα
 

     
   
 

 
 

   
   
   
   

 
     

Παράδειγμα 2ο Επεξεργασία

Για   έχουμε ότι

 


Μέση τιμή Επεξεργασία

Έστω  , τότε μπορούμε να γράψουμε  , όπου   είναι η δείκτρια τυχαία μεταβλητή για το γεγονός

  Το  -οστό δείγμα ήταν επιτυχία .

Αφού υπάρχουν   επιτυχίες συνολικά, έχουμε ότι

 

Από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι

 

Διακύμανση Επεξεργασία

Όπως και για την μέση τιμή, γράφουμε  . Τότε από την ταυτότητα Bienaymé, έχουμε για την διακύμανση ότι

Για την διακύμανση, από την κατανομή Μπερνούλλι, έχουμε ότι

 

 

 

 

 

(1)

Για την συνδιακύμανση, έχουμε ότι

 

Για τον πρώτο όρο, έχουμε

 

Επομένως,

 

Επιστρέφοντας στην (1), λαμβάνουμε ότι

 

Επικρατούσα τιμή Επεξεργασία

Η επικρατούσα τιμή της κατανομής δίνεται από το   ή  , όπου

 

Ο λόγος είναι ότι   αν και μόνο αν  , καθώς

 

Ανισότητες Επεξεργασία

Για   έχουμε ότι για   και κάθε  ,[5]

 

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Παραπομπές Επεξεργασία

  1. Πάνος Τσικογιαννόπουλος (2010). «Αθροιστική πολυωνυμική και υπεργεωμετρική κατανομή». Μαθηματική Επιθεώρηση (72): 3-22. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2012-10-25. https://web.archive.org/web/20121025170916/http://www.hms.gr/node/365. Ανακτήθηκε στις 2013-07-10. 
  2. Κουτρας, Μαρκος. «Πιαθνότητες Ι» (PDF). Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023. 
  3. Πανάρετος, Ιωάννης. «Μερικές Ειδικές Διακριτές Κατανομές» (PDF). Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023. 
  4. Κοντέος, Γεώργιος. «Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας» (PDF). Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών. Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2023. 
  5. Chvátal, V. (1 Ιανουαρίου 1979). «The tail of the hypergeometric distribution». Discrete Mathematics 25 (3): 285–287. doi:https://doi.org/10.1016/0012-365X(79)90084-0.