Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου

Στην γεωμετρία, εξωτερική διχοτόμος γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το τμήμα της διχοτόμου της εξωτερικής γωνίας τριγώνου που περιέχεται μεταξύ της κορυφής του τριγώνου και της απέναντι πλευράς.

Η εξωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta '}$ της κορυφής $\mathrm {A}$.

Ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το διπλανό σχήμα δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$. Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με $\delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}',\delta _{\rm {\Gamma }}'$ ή $\delta _{\alpha }',\delta _{\beta }',\delta _{\gamma }'$ αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος $\delta _{\rm {A}}'$ είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο $\delta _{\rm {A}}$.

Οι φορείς των εσωτερικών και εξωτερικών διχοτόμων τέμνονται κάθετα.

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η εξωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta '}$ ενός τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} <\mathrm {A\Gamma }$ ικανοποιεί

${\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.$

Παράκεντρα τριγώνου

Το παράκεντρο $\mathrm {J} _{\Gamma }$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$.

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ οι εξωτερικές διχοτόμοι $\delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}'$ και η εσωτερική διχοτόμος $\delta _{\rm {\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Ονομάζεται το παράκεντρο $\mathrm {J} _{\mathrm {\Gamma } }$ του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται παρεγγεγραμμένος. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα ${\rm {J_{B}}}$ και ${\rm {J_{\Gamma }}}$.

Μήκος διχοτόμου

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:

$(\delta _{\rm {A}}')^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right)$, $\quad (\delta _{\rm {B}}')^{2}=\gamma \alpha \cdot \left({\frac {\beta ^{2}}{(\gamma -\alpha )^{2}}}-1\right)\quad$ και $(\delta _{\rm {\Gamma }}')^{2}=\alpha \beta \cdot \left({\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha -\beta )^{2}}}-1\right)$.

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις

$\delta _{\rm {A}}'={\frac {2\beta \gamma }{|\beta -\gamma |}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}$, $\quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {2\gamma \alpha }{|\gamma -\alpha |}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\quad$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {2\alpha \beta }{|\alpha -\beta |}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}$.

και επίσης

$\delta _{\rm {A}}'={\frac {\alpha \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}{\sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\frac {{\hat {\rm {B}}}-{\hat {\rm {\Gamma }}}}{2}}}}$, $\quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {\beta \cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \sin {\hat {\rm {A}}}}{\sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\frac {{\hat {\rm {\Gamma }}}-{\hat {\rm {A}}}}{2}}}}\quad$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {\gamma \cdot \sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\hat {\rm {B}}}}{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \sin {\frac {{\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}}}{2}}}}$.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου