Άνοιγμα κυρίου μενού
Ιδεώδες (μαθηματικά)
Ταξινόμηση
Dewey510
MSC201016D25

ΟρισμόςΕπεξεργασία

Έστω  ) δακτύλιος και   ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το   θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες)(Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως   αν ισχύουν τα εξής:

  •   για κάθε  , δηλαδή το   αποτελεί ομάδα ως προς την πρόσθεση του δακτυλίου
  •   και  , για κάθε  
  • Υπάρχει   στο  
  • Υπάρχει   στο   τέτοιο ώστε να ισχύει  

Από την τρίτη ιδιότητα, προκύπτει ότι κάθε ιδεώδες   του δακτυλίου είναι διάφορο του συνόλου  . Στη γενική θεωρία των ιδεώδων και το σύνολο   αποτελεί ιδεώδες.

Μέγιστο ιδεώδεςΕπεξεργασία

Έστω  ) δακτύλιος και   ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μέγιστο ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε   με   έπεται ότι   ή  .

Πρώτο ΙδεώδεςΕπεξεργασία

Έστω  ) δακτύλιος και   ένα ιδεώδες του. Το   θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

  • Αν   τότε είτε   είτε  .

Προκύπτει ότι κάθε μέγιστο ιδεώδες του   είναι πρώτο, καθώς και ότι κάθε πρώτο ιδεώδες είναι μέγιστο.

ΠαραδείγματαΕπεξεργασία

  • Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο  
  • Το σύνολο   είναι ένα ιδεώδες του   που περιέχει το  .Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με  .
  • Έστω p ένας πρώτος αριθμός. Τότε το ιδεώδες   του   είναι πρώτο και μέγιστο.

ΒιβλιογραφίαΕπεξεργασία

  • Λάκκης, Κωνσταντίνος (1991), Θεωρία Αριθμών, Ζήτη