Η κατανομή Ραντεμάχερ είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής .
Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
Συνάρτηση μάζας πιθανότητας Ραντεμάχερ Κατανομή Rademacher
Φορέας x ∈ { − 1 , + 1 } {\displaystyle x\in \{-1,+1\}} Συνάρτηση Μάζας { 1 2 αν x = − 1 1 2 αν x = + 1 {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}&{\text{αν }}x=-1\\{\frac {1}{2}}&{\text{αν }}x=+1\end{cases}}} Μέσος 0 {\displaystyle 0} Διάμεσος [ − 1 , + 1 ] {\displaystyle [-1,+1]} Διακύμανση 1 {\displaystyle 1} Λοξότητα 0 {\displaystyle 0} Κύρτωση 1 {\displaystyle 1} Εντροπία 1 {\displaystyle 1} Ροπή E [ X k ] = { 1 αν k ζυγός , 0 αν k μονός . {\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\begin{cases}1&{\text{αν }}k{\text{ ζυγός}},\\0&{\text{αν }}k{\text{ μονός}}.\end{cases}}} Πιθανογεννήτρια
1 2 ⋅ t − 1 + 1 2 ⋅ t + 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot t^{-1}+{\frac {1}{2}}\cdot t^{+1}} Χαρακτηριστική
cosh ( t ) {\displaystyle \cosh(t)}
Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή X {\displaystyle X} − 1 {\displaystyle -1} + 1 {\displaystyle +1} X ∈ { − 1 , + 1 } {\displaystyle X\in \{-1,+1\}} X = + 1 {\displaystyle X=+1} X = − 1 {\displaystyle X=-1} X {\displaystyle X} [1] :61
P ( X = + 1 ) = 1 2 {\displaystyle \operatorname {P} (X=+1)={\frac {1}{2}}} P ( X = − 1 ) = 1 2 {\displaystyle \operatorname {P} (X=-1)={\frac {1}{2}}} Αν η τυχαία μεταβλητή Y {\displaystyle Y} p {\displaystyle p} X = Y + 1 2 {\displaystyle X={\tfrac {Y+1}{2}}} κατανομή Μπερνούλλι με παράμετρο p = 1 / 2 {\displaystyle p=1/2}
Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής , έχουμε ότι
E [ X ] = 1 2 ⋅ ( + 1 ) + 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 0. {\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{2}}\cdot (+1)+{\frac {1}{2}}\cdot (-1)=0.}
Η λοξότητα μίας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται ως:
γ 1 = E [ ( X − E [ X ] σ ) 3 ] . {\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right].} Επομένως από την λοξότητα για την κατανομή Μπερνούλλι, έχουμε ότι
E [ ( X − E [ X ] σ ) 3 ] = E [ ( 2 ⋅ ( Y − E [ Y ] ) 2 σ Y ) 3 ] = E [ ( Y − E [ Y ] σ Y ) 3 ] = 1 − 2 ⋅ 1 2 1 2 ⋅ 1 2 = 0. {\displaystyle \operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\sigma _{Y}}}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma _{Y}}}\right)^{3}\right]={\frac {1-2\cdot {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}}=0.}
Αντίστοιχα με την λοξότητα, από τον ορισμό της κύρτωσης, έχουμε ότι:
E [ ( X − E [ X ] σ ) 4 ] = E [ ( 2 ⋅ ( Y − E [ Y ] ) 2 ⋅ σ Y ) 4 ] = E [ ( Y − E [ Y ] σ Y ) 4 ] = 1 1 2 ⋅ 1 2 − 3 = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\cdot \sigma _{Y}}}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma _{Y}}}\right)^{4}\right]={\frac {1}{{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}-3=1.\end{aligned}}}
Από τον ορισμό της εντροπίας , έχουμε ότι:
E [ − log 2 X ] = − 1 2 ⋅ log 2 ( 1 2 ) − 1 2 ⋅ log 2 ( 1 2 ) = 1. {\displaystyle \operatorname {E} [-\log _{2}X]=-{\frac {1}{2}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)=1.} Πιθανογεννήτρια συνάρτηση
Επεξεργασία
Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:
G X ( t ) = E [ t X ] = 1 2 ⋅ t − 1 + 1 2 ⋅ t + 1 . {\displaystyle G_{X}(t)=\operatorname {E} [t^{X}]={\frac {1}{2}}\cdot t^{-1}+{\frac {1}{2}}\cdot t^{+1}.} Χαρακτηριστική συνάρτηση
Επεξεργασία
Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:
E [ e t X ] = 1 2 ⋅ e t + 1 2 ⋅ e − t = cosh ( t ) . {\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]={\frac {1}{2}}\cdot e^{t}+{\frac {1}{2}}\cdot e^{-t}=\cosh(t).}
↑ Παπαδάτος, Νίκος. «Θεωρία Πιθανοτήτων» (PDF) . Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουνίου 2023 . 
![{\displaystyle [-1,+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa72f1a806823ec94fda7922597b19cbda684f4)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\begin{cases}1&{\text{αν }}k{\text{ ζυγός}},\\0&{\text{αν }}k{\text{ μονός}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16a9dccc8057818848e6ca00cb37657be0df43b)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{2}}\cdot (+1)+{\frac {1}{2}}\cdot (-1)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf53af9f78233a5e67ac3185cfa2d99c7a162c4)
![{\displaystyle \operatorname {V} [X]=\operatorname {V} [2Y-1]=4\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dec0b2e88433148475748815beef0fd2738da80)
![{\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c634fe1ba0edca80d64aeed366a75a8ebaff0e)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\sigma _{Y}}}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma _{Y}}}\right)^{3}\right]={\frac {1-2\cdot {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f367823d8ea7c64524df8c6edc025bd59a500a89)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\cdot \sigma _{Y}}}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma _{Y}}}\right)^{4}\right]={\frac {1}{{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}-3=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47d9e873ff63d9619f2b26a6c73e08c117403f2)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{k}+{\frac {1}{2}}\cdot (+1)^{k}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13846d277e7bf1a6ee254fd65dd0c691d32f251c)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{k}+{\frac {1}{2}}\cdot (+1)^{k}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df20ffc77801109ccaacfea5416b18899001bf5)
![{\displaystyle \operatorname {E} [-\log _{2}X]=-{\frac {1}{2}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3897b0c92f105fe0cf0be4c1c2b4eaccf038eaa)
![{\displaystyle G_{X}(t)=\operatorname {E} [t^{X}]={\frac {1}{2}}\cdot t^{-1}+{\frac {1}{2}}\cdot t^{+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f0023340a7b4a0c567c50475cb9e156374ba05)
![{\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]={\frac {1}{2}}\cdot e^{t}+{\frac {1}{2}}\cdot e^{-t}=\cosh(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f1bf8a0a018cdf6e9eaf2776314b9e9d9f632b)