Μέσο (σημείο)

Στην γεωμετρία, το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ είναι το σημείο ${\rm {M}}$ του ευθυγράμμου τμήματος που ισαπέχει από τα άκρα του, δηλαδή ${\rm {AM=MB}}$. Λέμε επίσης ότι το ${\rm {M}}$ διχοτομεί το ${\rm {AB}}$.

Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία $(x_{1},y_{1})$ και $(x_{2},y_{2})$.

Τύποι

Στο επίπεδο

Στο επίπεδο $\mathbb {R} ^{2}$, το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα ${\rm {A}}=(x_{1},y_{1})$ και ${\rm {B}}=(x_{2},y_{2})$ δίνεται από τον τύπο:

${\rm {M}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)$.

Απόδειξη  

Για αυτό το σημείο είναι εύκολο να επιβεβαιώσουμε ότι ισαπέχει από τα άκρα καθώς:

${\begin{aligned}{\rm {AM}}&={\sqrt {\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}-x_{1}\right)^{2}+\left({\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-y_{1}\right)^{2}}}\\&={\sqrt {\left({\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{2}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$,

και

${\begin{aligned}{\rm {BM}}&={\sqrt {\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}-x_{2}\right)^{2}+\left({\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-y_{2}\right)^{2}}}\\&={\sqrt {\left({\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{2}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$

Στον τρισδιάστατο χώρο

Στον τρισδιάστατο χώρο $\mathbb {R} ^{3}$ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα ${\rm {A}}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ και ${\rm {B}}=(x_{2},y_{2},z_{2})$, δίνεται από τον τύπο

${\rm {M}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right)$.

Γενική περίπτωση

Στην γενική περίπτωση του χώρου $n$ διαστάσεων, το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα ${\rm {A}}=(x_{11},x_{12},\ldots ,x_{1n})$ και ${\rm {B}}=(x_{21},x_{22},\ldots ,x_{2n})$, δίνεται από τον τύπο

${\rm {M}}=\left({\frac {x_{11}+x_{21}}{2}},{\frac {x_{12}+x_{22}}{2}},{\frac {x_{13}+x_{23}}{2}},\dots ,{\frac {x_{1n}+x_{2n}}{2}}\right)$.

Γεωμετρική κατασκευή

Κατασκευή του μέσου ${\rm {M}}$ του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$.

Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα $\mathrm {A}$ και $\mathrm {B}$ και ακτίνα $\mathrm {AB}$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ των δύο κύκλων.
3. Η ευθεία που ενώνει τα $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ είναι η μεσοκάθετος του $\mathrm {AB}$ και το σημείο τομής της ${\rm {M}}$ με την ${\rm {AB}}$ είναι το μέσο.

Βήμα 1ο

Βήμα 2ο

Βήμα 3ο

Μοναδικότητα

Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι μοναδικό. Ανάλογα με τα ποια αξιώματα επιλέγονται για την θεμελίωση της γεωμετρίας, η μοναδικότητα μπορεί να είναι αξίωμα ή θεώρημα.

Δείτε επίσης

• Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
• Διάμεσος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος στο Geogebra.
• Animation - παρουσιάζει τα χαρακτηριστικά του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος