Μέτρο (μαθηματικά)

Μέτρο στα μαθηματικά ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση $\mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]$ ορισμένη σε μία Σ-άλγεβρα $\Sigma$ με τις ακόλουθες ιδιότητες:

• Αριθμήσιμη προσθετικότητα: Για κάθε αριθμήσιμη συλλογή $\{E_{i}\}_{i\in I}$ ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων

$\mu {\Bigl (}\bigcup _{i\in I}E_{i}{\Bigr )}=\sum _{i\in I}\mu (E_{i}).$

• Μηδενικό μέτρο στο κενό σύνολο:

$\mu (\varnothing )=0.$

Συγκεκριμένα ο παραπάνω ορισμός ορίζει ένα μη-αρνητικό μέτρο. Μέτρα με σύνολο τιμών το $\mathbb {R}$ ή το $\mathbb {C}$ εξετάζονται στην θεωρία ολοκλήρωσης.

Εξωτερικό μέτρο

Έστω ένα σύνολο X, και έστω ${\mathcal {P}}(X)$ το δυναμοσύνολο του X. Εξωτερικό μέτρο ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση $\mu :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,+\infty ]$ με τις ακόλουθες ιδιότητες:

• $\mu (\varnothing )=0.$
• Αν $A\subseteq B\subseteq X$, τότε $\mu (A)\leq \mu (B)$.
• Αν $\{A_{n}\}$ είναι μια ακολουθία υποσυνόλων του Χ, τότε $\mu {\Bigl (}\bigcup _{n}A_{n}{\Bigr )}\leq \sum _{n}\mu (A_{n})$.

Σ-περατότητα

Έστω $(X,\Sigma ,\mu )$ ένας μετρήσιμος χώρος, δηλαδή έστω Χ κάποιο σύνολο, Σ μια σ-άλγεβρα και μ ένα μέτρο ορισμένο σε αυτή. Ένα μέτρο είναι σ-περατό αν για κάθε $E\in \Sigma$, υπάρχει ακολουθία ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων ${A_{n}}$ με $\bigcup _{n}A_{n}=E$ τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της ακολουθίας να έχει περατό μέτρο, δηλαδή $\mu (A_{i})<+\infty$.