Νόμος του Χουκ
Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. |
Ο νόμος του Χουκ ή νόμος της ελαστικότητας περιγράφει την ελαστικότητα ενός υλικού ή συστήματος, όταν αυτό παραμορφώνεται υπό την επίδραση εξωτερικής δύναμης. Φέρει το όνομα του Άγγλου φυσικούΡόμπερτ Χουκ που εξήγαγε πειραματικά αυτόν τον νόμο. Σύμφωνα με τον νόμο του Χουκ, η επιμήκυνση ενός ελατηρίου είναι ανάλογη της δύναμης που ασκείται στο ελατήριο. Με άλλα λόγια:
όπου :
- F είναι η δύναμη που ασκείται στο ελατήριο
- k η σταθερά του εκάστοτε ελατηρίου και
- x η επιμήκυνση του ελατηρίου (η μετατόπιση από τη θέση φυσικού μήκους)
Για την έκφραση του Νόμου του Χουκ στις τρεις διαστάσεις δείτε Θεωρία ελαστικότητας.
Η δυναμική ενέργεια U του ελατηρίου δίνεται από τον τύπο:
Συχνά μιλάμε για δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, του σώματος ή του συστήματος σώμα-ελατήριο, εννοώντας την ίδια πάντα ποσότητα: είναι η ενέργεια που μπορεί να μεταφέρει σε ελεύθερο σώμα μάζας , ένα πεδίο δύναμης, το οποίο περιγράφεται από τον Νόμο του Χουκ.
Σταθερά ελατηρίουΕπεξεργασία
Η σταθερά ελατηρίου, γνωστή και σαν σταθερά του Χουκ, εκφράζει τη σκληρότητα ενός ελατηρίου και εξαρτάται από:
- το μήκος του ελατηρίου,
- το πάχος του σύρματος του ελατηρίου,
- το άνοιγμα (διάμετρο) των σπειρών του ελατηρίου,
- το υλικό και τη θερμοκρασία του σύρματος του ελατηρίου και
- την απόσταση μεταξύ των σπειρών («βήμα») του ελατηρίου
Μονάδα μέτρησης της σταθεράς ελατηρίου στο Διεθνές Σύστημα (SI) είναι το Νιούτον/Μέτρο (N/m).
Νόμος του Χουκ στη θεωρητική μηχανικήΕπεξεργασία
Ο νόμος του Χουκ δεν ισχύει μόνο για μηχανικά ελατήρια. Αντιθέτως, ο συγκεκριμένος νόμος δύναμης ισχύει στις περιοχές ευσταθούς ισορροπίας οποιουδήποτε δυναμικού.
Απόδειξη:
Έστω μονοδιάστατο δυναμικό V(x), το οποίο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο σε κάποιο σημείο x0 που ανήκει στο πεδίο ορισμού του. Αναπτύσσοντας το δυναμικό σε δυναμοσειρά γύρω από το x0:
Στη γειτονιά του σημείου x0 το δυναμικό μπορεί να προσεγγιστεί από τους πρώτους όρους του αναπτύγματος, ήτοι
Επιλέγοντας σύστημα αναφοράς έτσι ώστε V(x0)=0 και x0=0 (κάτι που μπορούμε πάντα να κάνουμε με κατάλληλη επιλογή των αξόνων αναφοράς), η παραπάνω έκφραση απλοποιείται περαιτέρω αναγνωρίζοντας επίσης το γεγονός ότι V’(x0)=0 (η V(x0) παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο αυτό). Συγκεκριμένα,
Η αντίστοιχη δύναμη που προκαλεί το παραπάνω δυναμικό ισούται με
που είναι ακριβώς ο νόμος του Χουκ με k=V”(0). Συνεπώς, ο νόμος του Χουκ είναι εντελώς γενικός και ισχύει για κίνηση κοντά σε οποιοδήποτε σημείο ευσταθούς ισορροπίας τυχαίου δυναμικού V(x). Υπό το φως της παραπάνω μαθηματικής ανάλυσης, η «σταθερά ελατηρίου» k αποκτά καθαρά μαθηματικό χαρακτήρα, ενώ η τιμή του εξαρτάται από την ακριβή μορφή του δυναμικού.
ΠηγέςΕπεξεργασία
- Καίσαρ Δ. Αλεξόπουλος Φυσική. Τ. Α΄ Μηχανική, Αθήνα, 1971
- Κανάρης Χ. Τσίγκανος (2004). Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη.
Αυτό το λήμμα σχετικά με τη Φυσική χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |