Νόμος του Χουκ

Ο νόμος του Χουκ ή νόμος της ελαστικότητας περιγράφει την ελαστικότητα ενός υλικού ή συστήματος, όταν αυτό παραμορφώνεται υπό την επίδραση εξωτερικής δύναμης. Φέρει το όνομα του Άγγλου φυσικούΡόμπερτ Χουκ που εξήγαγε πειραματικά αυτόν τον νόμο. Σύμφωνα με τον νόμο του Χουκ, η επιμήκυνση ενός ελατηρίου είναι ανάλογη της δύναμης που ασκείται στο ελατήριο. Με άλλα λόγια:

$F=kx\ \ \$

όπου :

• F είναι η δύναμη που ασκείται στο ελατήριο
• k η σταθερά του εκάστοτε ελατηρίου και
• x η επιμήκυνση του ελατηρίου (η μετατόπιση από τη θέση φυσικού μήκους)

Για την έκφραση του Νόμου του Χουκ στις τρεις διαστάσεις δείτε Θεωρία ελαστικότητας.

Η δυναμική ενέργεια U του ελατηρίου δίνεται από τον τύπο:

$U={1 \over 2}kx^{2}$

Συχνά μιλάμε για δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, του σώματος ή του συστήματος σώμα-ελατήριο, εννοώντας την ίδια πάντα ποσότητα: είναι η ενέργεια που μπορεί να μεταφέρει σε ελεύθερο σώμα μάζας $m$, ένα πεδίο δύναμης, το οποίο περιγράφεται από τον Νόμο του Χουκ.

Σταθερά ελατηρίου

Η σταθερά ελατηρίου, γνωστή και σαν σταθερά του Χουκ, εκφράζει τη σκληρότητα ενός ελατηρίου και εξαρτάται από:

1. το μήκος του ελατηρίου,
2. το πάχος του σύρματος του ελατηρίου,

1. το άνοιγμα (διάμετρο) των σπειρών του ελατηρίου,
2. το υλικό και τη θερμοκρασία του σύρματος του ελατηρίου και
3. την απόσταση μεταξύ των σπειρών («βήμα») του ελατηρίου

Μονάδα μέτρησης της σταθεράς ελατηρίου στο Διεθνές Σύστημα (SI) είναι το Νιούτον/Μέτρο (N/m).

Νόμος του Χουκ στη θεωρητική μηχανική

Προσέγγιση του δυναμικού (1-e^-(x-1))² (μπλε) με το αρμονικό δυναμικό (x-1)² (κόκκινο) γύρω από το σημείο ισορροπίας x=1.

Ο νόμος του Χουκ δεν ισχύει μόνο για μηχανικά ελατήρια. Αντιθέτως, ο συγκεκριμένος νόμος δύναμης ισχύει στις περιοχές ευσταθούς ισορροπίας οποιουδήποτε δυναμικού.

Απόδειξη:

Έστω μονοδιάστατο δυναμικό V(x), το οποίο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο σε κάποιο σημείο x₀ που ανήκει στο πεδίο ορισμού του. Αναπτύσσοντας το δυναμικό σε δυναμοσειρά γύρω από το x₀:

$V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})x+{\frac {1}{2}}V''(x_{0})x^{2}+...$

Στη γειτονιά του σημείου x₀ το δυναμικό μπορεί να προσεγγιστεί από τους πρώτους όρους του αναπτύγματος, ήτοι

$V(x)\approx V(x_{0})+V'(x_{0})x+{\frac {1}{2}}V''(x_{0})x^{2}$

Επιλέγοντας σύστημα αναφοράς έτσι ώστε V(x₀)=0 και x₀=0 (κάτι που μπορούμε πάντα να κάνουμε με κατάλληλη επιλογή των αξόνων αναφοράς), η παραπάνω έκφραση απλοποιείται περαιτέρω αναγνωρίζοντας επίσης το γεγονός ότι V’(x₀)=0 (η V(x₀) παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο αυτό). Συγκεκριμένα,

$V(x)\approx {\frac {1}{2}}V''(0)x^{2}={\frac {1}{2}}kx^{2},\ k=V''(0)$

Η αντίστοιχη δύναμη που προκαλεί το παραπάνω δυναμικό ισούται με

$F=-{\frac {dV}{dx}}=-kx$

που είναι ακριβώς ο νόμος του Χουκ με k=V”(0). Συνεπώς, ο νόμος του Χουκ είναι εντελώς γενικός και ισχύει για κίνηση κοντά σε οποιοδήποτε σημείο ευσταθούς ισορροπίας τυχαίου δυναμικού V(x). Υπό το φως της παραπάνω μαθηματικής ανάλυσης, η «σταθερά ελατηρίου» k αποκτά καθαρά μαθηματικό χαρακτήρα, ενώ η τιμή του εξαρτάται από την ακριβή μορφή του δυναμικού.

Πηγές

• Καίσαρ Δ. Αλεξόπουλος Φυσική. Τ. Α΄ Μηχανική, Αθήνα, 1971
• Κανάρης Χ. Τσίγκανος (2004). Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη.