Ορθογώνιο τρίγωνο

τρίγωνο με μία ορθή γωνία

Στην γεωμετρία, ορθογώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο του οποίου μία γωνία είναι ορθή. Οι πλευρές που περιέχουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες πλευρές και η απέναντί της λέγεται υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου.[1]:62[2]:55[3][4]

Ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία την Α. Η πλευρά ονομάζεται υποτείνουσα και οι πλευρές και είναι οι δύο κάθετες.

Ιδιότητες

Επεξεργασία
  • Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.
  • Το ορθόκεντρο του τριγώνου ταυτίζεται με την κορυφή της ορθής γωνίας του.
  • Η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.
 
Περιγεγραμμένος κύκλος ορθογωνίου τριγώνου
  • Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει ότι το μέσο της υποτείνουσας   του ορθογωνίου τριγώνου   είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, ο οποίος έχει ακίνα  .
  • Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο   με την γωνία   ορθή ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου έχει ακτίνα   και το έγκεντρο του τριγώνου έχει συντεταγμένες   στο ορθοκανονικό σύστημα με αρχή το   και άξονες τις ευθείες των πλευρών   και  .
  • Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο   με την γωνία   ορθή το άθροισμα των δύο καθέτων πλευρών του ισούται με την υποτείνουσα αυξημένη κατά την διάμετρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Δηλαδή  .[5]

Μετρικές σχέσεις

Επεξεργασία

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο   με την γωνία   ορθή και το ύψος  .

 

Τότε, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:[1]: 192-197 [2]: 69-71 [3]: 109-113 [4]: 363-369 

  •   και  .
  • (Πυθαγόρειο Θεώρημα)   (ή αντίστοιχα  ). Ισχύει και το αντίστροφο.
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των κάθετων πλευρών, δηλαδή

 

Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων

Επεξεργασία

Ακολουθούν τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:[1]: 62-63 

  • Κριτήριο πλευράς-πλευράς: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα.
  • Κριτήριο πλευράς-προσκείμενης οξείας: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση τότε είναι ίσα.

Ειδικά ορθογώνια τρίγωνα

Επεξεργασία

Με γωνίες 30°-60°-90°

Επεξεργασία
 
Ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 30° και 60°. Το   είναι το μέσο της υποτείνουσας.

Το ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:

  • Η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
  • Το τρίγωνο   είναι ισόπλευρο.
  • Τα μήκη των πλευρών είναι ανάλογα στα  ,   και  .

Ορθογώνιο και ισοσκελές

Επεξεργασία
 
Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ.

Το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

  • Οι οξείες γωνίες του είναι 45°.
  • Αν   είναι το μήκος των δύο κάθετων πλευρών τότε η υποτείνουσα έχει μήκος  .
  • Το εμβαδόν του είναι  .
  • Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το   στο σχήμα).

Τρίγωνο Κέπλερ

Επεξεργασία
 
Τρίγωνο Κέπλερ με τα τετράγωνα των πλευρών του.
Κύριο λήμμα: Τρίγωνο του Κέπλερ

Το τρίγωνο του Κέπλερ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Προκύπτει ότι τα μήκη των πλευρών του είναι ανάλογα ως προς τα  ,   και  , όπου   είναι ο χρυσός λόγος.


Περαιτέρω θέματα

Επεξεργασία

Τριγωνομετρία

Επεξεργασία
 
Ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία  .

Το ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιείται στον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας  . Πιο συγκεκριμένα, για την γωνία  , ισχύει ότι

 
 
 .

Πυθαγόρειες τριάδες

Επεξεργασία

Πυθαγόρειες τριάδες ονομάζονται οι τριάδες ακεραίων αριθμών   τέτοιες ώστε  .
Για παράδειγμα η τριάδα   είναι Πυθαγόρεια τριάδα διότι:  .
Αλλά η τριάδα   δεν είναι Πυθαγόρεια τριάδα διότι:   .

Σχέση με το ψευδο-ορθογώνιο τρίγωνο

Επεξεργασία
 
Το ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο   και το σχετικό του ορθογώνιο  . Έχουν  , την   κοινή και το ύψος   κοινό.

Ένα τρίγωνο λέγεται ψευδοορθογώνιο αν η διαφορά δύο γωνιών του είναι μία ορθή γωνία, για παράδειγμα αν  . Παίρνει αυτή την ονομασία, καθώς υπάρχει ένα ορθογώνιο   με το οποίο έχει δύο πλευρές ίσες (  και την   κοινή) και κοινό ύψος (το  ). Το ψευδοορθογώνιο και το ορθογώνιο είναι τα μόνα τρίγωνα που ικανοποιούν τις παρακάτω μετρικές σχέσεις:[1]: 192-197 

  •  ,
  •  , και
  •  .

Σπείρα Θεόδωρου

Επεξεργασία
 
Η σπείρα του Θεόδωρου.

Η σπείρα του Θεόδωρου είναι μία σπείρα που κατασκευάζεται από ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετη πλευρά μήκους   (και υποτείνουσας μήκους  ). Το επόμενο τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου και άλλη κάθετη πλευρά μήκους  . Επομένως, έχει υποτεινουσα μήκους  . Στην γενική περίπτωση, το  -οστό τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου και μία άλλη μήκους  . Επαγωγικά προκύπτει ότι το μήκος της υποτείνουσάς του είναι

 .

Πλακοστρώσεις

Επεξεργασία
 
Τμήμα της πλακόστρωσης pinwheel.

Τα ορθογώνια τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πλακοστρώσεις του επιπέδου. Για παράδειγμα, η πλακόστρωση pinwheel δίνει έναν μη-περιοδικό τρόπο να πλακοστρωθεί το επίπεδο.

Περαιτέρω ανάγνωση

Επεξεργασία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Επεξεργασία

Ελληνικά άρθρα

Επεξεργασία

Ξενόγλωσσα άρθρα

Επεξεργασία

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  2. 2,0 2,1 Νικολάου, Νικόλαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. 1973: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων. 
  3. 3,0 3,1 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  4. 4,0 4,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  5. Βασιλειάδης, Παναγιώτης (1974). Γεωμετρία: Η περιφέρεια. Θεσσαλονίκη: Π. Βασιλειάδης. σελίδες 63–64.