Περιττή συνάρτηση

συνάρτηση που έχει συμμετρική με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση λέγεται περιττή αν η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Πιο συγκεκριμένα, μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το λέγεται περιττή, αν για κάθε που ανήκει στο ισχύει ότι το ανήκει στο και ότι .[1]:39[2]:287

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Χαρακτηριστικά της περιττής συνάρτησης

Επεξεργασία

Λόγω της ιδιότητάς της για τη μελέτη της περιττής συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές του ενός προσήμου, για παράδειγμα για x μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευούν κατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Επεξεργασία

Η περιττή συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής ή παραγωγίσιμη. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση έχει την ιδιότητα της συνέχειας ή της παραγωγισιμότητας σε ένα σημείο ή διάστημα έχει και την ίδια ιδιότητα στο συμμετρικό ως προς τον άξονα y'y σημείο ή διάστημα. Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχει είναι άρτια συνάρτηση.

Μονοτονία

Επεξεργασία

Η μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, είναι ίδια σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Για παράδειγμα, αν μια περιττή συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (-2,-1], τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα το [1,2).

Ασύμπτωτες

Επεξεργασία

Οι ασύμπτωτες, αν υπάρχουν, είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων Ο, άρα και παράλληλες μεταξύ τους.

Σύνολο τιμών-Ρίζες

Επεξεργασία

Το σύνολο τιμών περιττής συνάρτησης ταυτίζεται με την ένωση του πεδίου των θετικών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού) και του πεδίου των αρνητικών αριθμών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού). Τα δύο επιμέρους σύνολα τιμών είναι συμμετρικά μεταξύ τους ως προς το μηδέν. Σε κάθε περιττή συνάρτηση, αν στο πεδίο ορισμού συμπεριλαμβάνεται και το μηδέν ισχύει ότι f(0)=0. Το σύνολο των ριζών περιττής συνάρτησης είναι περιττό.

Κοιλοκυρτότητα

Επεξεργασία

Η κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, είναι του αντίθετου είδους σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή περιττή.

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Κολουντζάκης, Μ.· Παπαχριστόδουλος, Χ. (2015). Ανάλυση Fourier (PDF). ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-360-5. 
  2. Ανδρεαδάκης Στυλιανός· Κατσαργύρης Βασίλειος· Μέτης Στέφανος· Μπρουχούτας Κωνσταντίνος· Παπασταυρίδης Σταύρος· Πολύζος Γεώργιος (2008). Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης. ISBN 960-06-0703-6.