Πλήρες διατεταγμένο σώμα

Στα μαθηματικά, ένα διατεταγμένο σώμα ονομάζεται πλήρες αν και μόνο αν ικανοποιεί την ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος.

Η ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματοςΕπεξεργασία

Θεωρούμε ένα σύνολο   διάφορο του κενού και άνω φραγμένο. Τότε αυτό διαθέτει κάποιο ελάχιστο άνω φράγμα  , ήτοι,

  • Υπάρχει   (μοναδικό) ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες:
    •   για κάθε  
    • Αν   για κάθε   τότε  

H ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος είναι ισοδύναμη με δυο άλλες ιδιότητες,οι οποίες μερικές φορές αναφέρονται ως ο ορισμός της πληρότητας του  .

Η ιδιότητα των ακολουθιών CauchyΕπεξεργασία

Αν   είναι μια πραγματική ακολουθία Κωσύ τότε συγκλίνει.

Η ιδιότητα των εγκιβωτισμένων διαστημάτωνΕπεξεργασία

Αν   είναι μια ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων (ήτοι,  ) τα μήκη των οποίων τείνουν στο μηδέν,τότε υπάρχει μοναδικό στοιχείο   τέτοιο ώστε   για κάθε φυσικό αριθμό  .

Παρατηρούμε ότι το σύνολο   δεν είναι πλήρες. Επί παραδείγματι,ας θεωρήσουμε το σύνολο  . Το   είναι εκ των άνω φραγμένο από το 3 που είναι ρητός,αλλά δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα,γιατί αν είχε,θα έπρεπε να ισούται με το ελάχιστο άνω φράγμα του   δηλαδή τον άρρητο αριθμό  .

Βιβλιογραφία (στα Αγγλικά)Επεξεργασία

  • Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The Fundamental Theorem Of Algebra (1997)