Πλήρες διατεταγμένο σώμα

Στα μαθηματικά, ένα διατεταγμένο σώμα ονομάζεται πλήρες αν και μόνο αν ικανοποιεί την ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος.

Η ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος

Θεωρούμε ένα σύνολο $\ A\subset \mathbb {R}$ διάφορο του κενού και άνω φραγμένο. Τότε αυτό διαθέτει κάποιο ελάχιστο άνω φράγμα $\ S$, ήτοι,

• Υπάρχει $\ S$ (μοναδικό) ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες:
  • $t\leq S$ για κάθε $t\in A$
  • Αν $t\leq M$ για κάθε $t\in A$ τότε $S\leq M$

Η ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος είναι ισοδύναμη με δυο άλλες ιδιότητες,οι οποίες μερικές φορές αναφέρονται ως ο ορισμός της πληρότητας του $\mathbb {R}$.

Η ιδιότητα των ακολουθιών Cauchy

Αν $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ είναι μια πραγματική ακολουθία Κωσύ τότε συγκλίνει.

Η ιδιότητα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων

Αν $(L_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ είναι μια ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων (ήτοι, $L_{i+1}\subset L_{i}$) τα μήκη των οποίων τείνουν στο μηδέν,τότε υπάρχει μοναδικό στοιχείο $\ x_{0}$ τέτοιο ώστε $x_{0}\in L_{i}$ για κάθε φυσικό αριθμό $\ i$.

Παρατηρούμε ότι το σύνολο $\mathbb {Q}$ δεν είναι πλήρες. Επί παραδείγματι,ας θεωρήσουμε το σύνολο $S=\left\{{\begin{matrix}q\in \mathbb {Q} \end{matrix}}:q^{2}<2\right\}$. Το $\ S$ είναι εκ των άνω φραγμένο από το 3 που είναι ρητός,αλλά δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα,γιατί αν είχε,θα έπρεπε να ισούται με το ελάχιστο άνω φράγμα του $\mathbb {R}$ δηλαδή τον άρρητο αριθμό ${\sqrt {2}}$.

Βιβλιογραφία (στα Αγγλικά)

• Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The Fundamental Theorem Of Algebra (1997)