Σταθερή συνάρτηση

Στα μαθηματικά, σταθερή συνάρτηση ονομάζεται μία συνάρτηση που λαμβάνει την ίδια τιμή ανεξάρτητα από την τιμή εισόδου. Πιο συγκεκριμένα, είναι μία συνάρτηση $f:X\to Y$ (δηλαδή από το σύνολο $X$ στο σύνολο $Y$), για την οποία υπάρχει κάποιο $c\in Y$, ώστε για κάθε $x\in X$ έχουμε ότι $f(x)=c$.

Ο ίδιος ορισμός με σύμβολα γράφετε ως εξής:

$\exists c\in Y.\forall x\in X.f(x)=c$.

Παραδείγματα

Παραδείγματα σταθερών συναρτήσεων

Σταθερή συνάρτηση στους πραγματικούς αριθμούς.

Σταθερή συνάρτηση στους φυσικούς αριθμούς.

Σταθερή συνάρτηση μεταξύ δύο πεπερασμένων συνόλων $S_{1}=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$ και $S_{2}=\{1,2,3\}$.

• Η συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=\pi =3.14\ldots$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x\in \mathbb {R}$, είναι μία σταθερή συνάρτηση.
• Η συνάρτηση $f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ με $f(x)=2$ για κάθε φυσικό αριθμό $x\in \mathbb {N}$ είναι μία σταθερή συνάρτηση.
• Η συνάρτηση (ή ακολουθία) $f:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=\pi =3.14\ldots$ για κάθε $x\in \mathbb {N}$ είναι μία σταθερή συνάρτηση.
• Για τα σύνολα $S_{1}=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$ και $S_{2}=\{1,2,3\}$, η συνάρτηση $f=\{\alpha \mapsto 3,\beta \mapsto 3,\gamma \mapsto 3,\delta \mapsto 3\}$ είναι σταθερή.
• Η μηδενική συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ικανοποιεί $f(x)=0$ για κάθε $x\in \mathbb {R}$.
• Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ομοιόμορφης κατανομής είναι σταθερή.

Ιδιότητες

• Η εικόνα μίας σταθερής συνάρτησης $f:X\to Y$, με $f(x)=c$ για κάθε $x\in X$, είναι το σύνολο ${\mathcal {R}}_{f}=\{c\}$. Από αυτό προκύπτει ότι η $f$ είναι επί ανν το σύνολο $Y$ περιέχει μόνο το $c$, δηλαδή $Y=\{c\}$.
• Κάθε σταθερή συνάρτηση στους πραγματικούς είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και περιοδική συνάρτηση.
• Η σταθερή συνάρτηση είναι η μόνη συνάρτηση στους πραγματικούς, που είναι και αύξουσα και φθίνουσα.
• Κάθε σταθερή συνάρτηση στους φυσικούς αριθμούς είναι τετριμμένα υπολογίσιμη.