Συνέλιξη

Στα μαθηματικά, συνέλιξη είναι μία πράξη μεταξύ δύο συναρτήσεων που δίνει μία καινούργια συνάρτηση.

Για τις διακριτές συναρτήσεις $f,g:\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$ με πεδίο ορισμού τους ακεραίους, η συνέλιξη των $f$ και $g$, συμβολίζεται με $f*g$ και ορίζεται ως

$(f*g)(x)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)\cdot g(x-k),\quad$ για κάθε $x\in \mathbb {Z}$.

Για τις συνεχείς συναρτήσεις $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με πεδίο ορισμού τους πραγματικούς, η συνέλιξη των $f$ και $g$, συμβολίζεται με $f*g$ και ορίζεται ως

$(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(k)\cdot g(x-k)\,dk,\quad$ για κάθε $x\in \mathbb {R}$.

Ιδιότητες της συνέλιξης

Η συνέλιξη έχει τις ίδιες ιδιότητες με τον πολλαπλασιασμό:

• Είναι προσεταιριστική, δηλαδή για κάθε τρεις συναρτήσεις $f,g,h$, ισχύει ότι:

$(f*g)*h=f*(g*h).$

• Είναι αντιμεταθετική, δηλαδή για κάθε δύο συναρτήσεις $f,g$, ισχύει ότι:

$f*g=g*f.$

• Είναι επιμεριστική ως προς την πρόσθεση, δηλαδή για κάθε τρεις συναρτήσεις $f,g,h$, ισχύει ότι:

$f*(g+h)=f*g+f*h.$

• Έχει ένα ουδέτερο στοιχείο, την γενικευμένη συνάρτηση $\delta (x)$ (συνάρτηση του Ντιράκ), η οποία μηδενίζεται για κάθε $x$, εκτός από το σημείο μηδέν όπου τείνει στο θετικό άπειρο:

$f*\delta =\delta *f=f.$

Εφαρμογές

Κατανομή αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών

Έστω δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ με διακριτές κατανομές $p_{X}$ και $p_{Y}$. Τότε η κατανομή $p_{Z}$ του αθροίσματός τους $Z=X+Y$ είναι ίση με $p_{Z}=p_{X}*p_{Y}$.

$p_{Z}(z)=\Pr(Z=z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\Pr(X=k,Y=z-k)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\Pr(X=k)\cdot \Pr(Y=z-k)=(p_{X}*p_{Y})(z),$

όπου στην δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε τον νόμο της ολικής πιθανότητας και στην τρίτη ότι οι τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ ειναι ανεξάρτητες.