Άνοιγμα κυρίου μενού

Συνέχεια συνάρτησης

(Ανακατεύθυνση από Συνεχής συνάρτηση)

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση λέγεται συνεχής όταν μια μικρή μεταβολή στο όρισμά της προκαλεί μικρή μόνο μεταβολή στην τιμή της. Για τις συναρτήσεις που ορίζονται σε πραγματικούς αριθμούς η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα (και όχι σε ένωση διαστημάτων) μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να χρειαστεί να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Πίνακας περιεχομένων

Συνέχεια πραγματικών συναρτήσεωνΕπεξεργασία

Ορισμός Κωσύ («έψιλον-δέλτα» ορισμός)Επεξεργασία

Αν   είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού   και το   ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ονομάζεται συνεχής στο   αν

 

Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της. Η συνάρτηση ονομάζεται συνεχής στο   αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του  , δηλαδή αν

 

Σε αντιδιαστολή προς την ομοιόμορφη συνέχεια, η συνέχεια που ορίστηκε παραπάνω λέγεται και σημειακή συνέχεια.

Ορισμός μέσω ορίωνΕπεξεργασία

Ένας ορισμός που χρησιμοποιεί την έννοια του ορίου στις πραγματικές συναρτήσεις λέει ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο   του πεδίου ορισμού της αν το όριο της συνάρτησης στο σημείο αυτό συμπίπτει με την τιμή της, δηλαδή αν:

 

Αυτός ο ορισμός όμως δεν είναι αρκετός γιατί το όριο   έχει έννοια μόνο όταν το   είναι σημείο συσσώρευσης της συνάρτησης f και επομένως με τον ορισμό αυτό μπορούμε να ελέγξουμε αν μία συνάρτηση είναι συνεχής μόνο στα σημεία συσσώρευσής της, (αν όμως το   δεν είναι σημείο συσσώρευσης της f, τότε είναι μεμονωμένο σημείο και επομένως η f είναι έτσι και αλλιώς συνεχής σε αυτό).

Αρχή της μεταφοράς (ορισμός Χάινε)Επεξεργασία

Μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο   του πεδίου ορισμού της Α αν και μόνο αν για κάθε ακολουθία   στο Α, με:

 

ισχύει:

 

Με άλλα λόγια μία πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής κατά Χάινε αν διατηρεί τα όρια, δηλαδή αν το όριο των εικόνων ισούται με την εικόνα του ορίου.

Συνέχεια σε τοπολογικούς χώρουςΕπεξεργασία

Μια συνάρτηση f ορισμένη στο X που λαμβάνει τιμές στο Y, όπου X και Y είναι τοπολογικοί χώροι, είναι συνεχής στο x όπου   αν για κάθε γειτονιά V της f(x), υπάρχει μια γειτονιά U του x τέτοια ώστε  . Με πιο απλά λόγια, αυτό σημαίνει ότι όσο μικρή κι αν γίνεται η V μπορούμε πάντα να βρούμε μια U του x που να απεικονίζεται στην V. Λέμε ότι η f είναι συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε  .

Συνέχεια σε διάστημαΕπεξεργασία

ΟρισμόςΕπεξεργασία

Μία συνάρτηση   ονομάζεται συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα  , υποσύνολο του πεδίου ορισμού της , αν είναι συνεχής σε κάθε   και  

Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεωνΕπεξεργασία

Θεώρημα BolzanoΕπεξεργασία

Αν μια συνάρτηση   ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα  , είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει   τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον   τέτοιο ώστε  .

 

Γραφικά, το θεώρημα Bolzano σημαίνει ότι, αν η   είναι συνεχής στο   και   ετερόσημοι, τότε η γραφική παράσταση της   τέμνει τον άξονα   σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των  .

Θεώρημα σταθερού σημείουΕπεξεργασία

Αν   συνάρτηση συνεχής στο   με   , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον   , τέτοιο ώστε  .

Θεώρημα ενδιάμεσης τιμήςΕπεξεργασία

Το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής βασίζεται στην αρχή της πληρότητας και διατυπώνεται ως εξής:

Αν μια συνάρτηση   ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα   είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει   , τότε για οποιοδήποτε   μεταξύ των   υπάρχει ένα τουλάχιστον   τέτοιο ώστε  .

 

Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμήςΕπεξεργασία

Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής διατυπώνεται ως εξής:

Αν μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] είναι συνεχής σε αυτό, τότε υπάρχουν στοιχεία μ και Μ στο [α, β] ώστε f(μ) = min(f) και f(Μ) = max(f).

Το πιο πάνω δεν ισχύει αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα. Για παράδειγμα η συνάρτηση   με τύπο   είναι συνεχής στο (0, 1) αλλά δεν έχει μέγιστο.

Ομοιόμορφη συνέχειαΕπεξεργασία

Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας είναι πιο ισχυρή από αυτή της (σημειακής) συνέχειας. Επιπλέον, ενώ η συνέχεια μιας συνάρτησης είναι τοπική έννοια, δηλαδή αναφέρεται σε συγκεκριμένα σημεία του πεδίου ορισμού της, η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας αναφέρεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της.

Λέμε ότι μια συνάρτηση   είναι ομοιόμορφα συνεχής αν

 

Η θεμελιώδης διαφορά της ομοιόμορφης συνέχειας από τη σημειακή έγκειται στο ότι η ακτίνα δ δεν εξαρτάται από το κέντρο x0 κάθε φορά, παρά μόνο από την ακτίνα ε.