Λόγος απόδοσης

Ο λόγος απόδοσης (ΛΑ) ή σχετικός λόγος συμπληρωματικών πιθανοτήτων (ΣΛΣΠ) είναι ένα στατιστικό μέτρο που ποσοτικοποιεί την ισχύ της συσχέτισης μεταξύ δύο ενδεχομένων, Α και Β. Ο λόγος απόδοσης ορίζεται ως ο λόγος της απόδοσης του Α παρουσία του Β προς την απόδοση του Α απουσία του Β, ή ισοδύναμα (λόγω συμμετρίας), είναι ο λόγος της απόδοσης του Β παρουσία του Α προς την απόδοση του Β απουσία του Α. Δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα αν και μόνο αν ο ΛΑ ισούται με 1, δηλαδή αν οι αποδόσεις ενός ενδεχομένου είναι ίδιες είτε παρουσία είτε απουσία του άλλου ενδεχομένου. Εάν ο ΛΑ είναι μεγαλύτερος από 1, τότε τα Α και Β συνδέονται (συσχετίζονται), με την έννοια ότι η παρουσία Β, σε σύγκριση με την απουσία του, αυξάνει τις πιθανότητες του Α και συμμετρικά η παρουσία του Α, σε σύγκριση με την απουσία του, αυξάνει τις πιθανότητες του Β. Αντίθετα, εάν ο ΛΑ είναι μικρότερος από 1, τότε τα A και B συσχετίζονται αρνητικά που σημαίνει ότι η παρουσία ενός ενδεχομένου μειώνει τις πιθανότητες του άλλου ενδεχομένου.

Αξίζει να σημειωθεί ότι ο λόγος απόδοσης είναι συμμετρικός για τα δύο ενδεχόμενα και δεν υπονοείται καμία αιτιώδης κατεύθυνση (η συσχέτιση δεν συνεπάγεται αιτιακότητα): αν ΛΑ > 1, αυτό δεν αποδεικνύει ότι το Β προκαλεί Α ή ότι το Α προκαλεί Β.

Δύο παρόμοια στατιστικά μέτρα που χρησιμοποιούνται συχνά για τον ποσοτικό προσδιορισμό μιας συσχέτισης είναι ο σχετικός κίνδυνος (ΣΚ) και η απόλυτη μείωση κινδύνου (ΑΜΚ). Συχνά, η παράμετρος μεγαλύτερου ενδιαφέροντος είναι ο ΣΚ, ο οποίος υπολογίζεται με την διαίρεση δύο πιθανοτήτων, κατ' αντιστοιχία με τις αποδόσεις που διαιρούνται για τον υπολογισμό του ΛΑ. Ωστόσο, τα διαθέσιμα δεδομένα συχνά δεν επιτρέπουν τον υπολογισμό του ΣΚ ή της ΑΜΚ, αλλά επιτρέπουν τον υπολογισμό του ΛΑ, όπως συμβαίνει σε μελέτες πασχόντων–μαρτύρων, κάτι που εξηγείται παρακάτω. Από την άλλη, εάν ένα από τα ενδεχόμενα (Α ή Β) είναι αρκετά σπάνιο (στην επιδημιολογία, αυτό ονομάζεται παραδοχή σπανιότητας της νόσου), τότε ο ΛΑ είναι περίπου ίσος με τον αντίστοιχο ΣΚ.

Ο λόγος απόδοσης αποτελεί το μέτρο συσχέτισης που παράγεται από την κατασκευή ενός μοντέλου λογιστικής παλινδρόμησης.

Ορολογία

Στα ελληνικά, ο λόγος απόδοσης έχει διάφορες ονομασίες που αντικατοπτρίζουν την αδυναμία εύρεσης ενός περιεκτικού όρου που να αντιπροσωπεύει πλήρως το πραγματικό του νόημα. Οι ονομασίες που έχουν προταθεί κατά καιρούς και χρησιμοποιούνται είναι οι εξής:

• Λόγος των odds
• Σχετικός λόγος συμπληρωματικών πιθανοτήτων
• Λόγος πιθανοτήτων
• Πηλίκο διαγωνίων γινομένων
• Λόγος αναλογιών
• Σχετικό στοίχημα

Κάποιοι όροι είναι ισότιμοι μεταξύ τους (π.χ. ο «σχετικός λόγος συμπληρωματικών πιθανοτήτων» και το «πηλίκο διαγωνίων γινομένων»), ενώ άλλοι, όπως ο «λόγος πιθανοτήτων», είναι πιο εύχρηστοι, αν και αποδίδουν ένα λανθασμένο νόημα, εφόσον η απόδοση δεν αποτελεί πιθανότητα. Η πιθανότητα μπορεί να οριστεί ως ο αριθμός των επιτυχημένων δοκιμών διαιρούμενος με το συνολικό αριθμό δοκιμών. Από εδώ προκύπτει ότι η πιθανότητα παίρνει τιμές από 0 έως 1. Αντιθέτως, η απόδοση είναι διαίρεση δύο πιθανοτήτων οι οποίες είναι συμπληρωματικές μεταξύ τους, δηλαδή p/(1-p). Από εδώ προκύπτει ότι η απόδοση μπορεί να πάρει τιμές από το 0 έως το άπειρο. Επομένως, η διαίρεση δύο αποδόσεων (λόγος απόδοσης) δεν είναι σωστό να αποκαλείται λόγος πιθανοτήτων, εφόσον η απόδοση δεν είναι πιθανότητα.

Ορισμός και βασικές ιδιότητες

Ένα παράδειγμα, στο πλαίσιο της παραδοχής σπανιότητας της νόσου

Έστω ότι υπάρχει μια σπάνια ασθένεια, που πλήττει μόνο ένα ενήλικα ανά πολλές χιλιάδες σε μια χώρα. Έστω ότι υπάρχει η υποψία ότι η έκθεση σε κάτι (ας πούμε, ένας τραυματισμός κατά την παιδική ηλικία) αυξάνει την πιθανότητα εμφάνισης αυτής της ασθένειας κατά την ενηλικίωση. Το πιο χρήσιμο στατιστικό μέτρο θα ήταν ο σχετικός κίνδυνος, ΣΚ. Ιδανικά όμως απαιτείται να γνωρίζουμε για όλους τους ενήλικες του πληθυσμού εάν (α) είχαν υποστεί τον τραυματισμό ως παιδιά και (β) εμφάνισαν την ασθένεια ως ενήλικες. Από αυτό θα εξαγάγαμε τις ακόλουθες πληροφορίες: τον συνολικό αριθμό των ατόμων που εκτέθηκαν στον παιδικό τραυματισμό, ${\mbox{Ν}}_{\mbox{ε}}$, εκ των οποίων ${\mbox{α}}$ εμφάνισαν την ασθένεια και ${\mbox{β}}$ παρέμειναν υγιείς. Επίσης, θα εξαγάγαμε τον συνολικό αριθμό ατόμων που δεν εκτέθηκαν στον τραυματισμό, ${\mbox{Ν}}_{\mbox{μ}}$, εκ των οποίων ${\mbox{γ}}$ εμφάνισε την ασθένεια και ${\mbox{δ}}$ παρέμεινε υγιής. Εφόσον ${\mbox{Ν}}_{\mbox{ε}}={\mbox{α+β}}$ και ομοίως για το ${\mbox{Ν}}_{\mbox{μ}}$, έχουμε μόνο τέσσερις ανεξάρτητες μεταβλητές, οι οποίες μπορούν να οργανωθούν σε έναν πίνακα:

${\begin{array}{|r|cc|}\hline &{\text{ Πασχόντες }}&{\text{ Υγιείς }}\\\hline {\text{ Εκτεθειμένοι }}&{\mbox{α}}&{\mbox{β}}\\{\text{ Μη εκτεθειμένοι }}&{\mbox{γ}}&{\mbox{δ}}\\\hline \end{array}}$

Για να αποφευχθεί πιθανή σύγχυση, τονίζεται ότι όλοι αυτοί οι αριθμοί αναφέρονται σε ολόκληρο τον πληθυσμό και όχι σε κάποιο δείγμα αυτού.

Ο κίνδυνος εμφάνισης της ασθένειας λόγω της έκθεσης είναι ${\mbox{α}}/{\mbox{Ν}}_{\mbox{ε}}$ (όπου ${\mbox{Ν}}_{\mbox{ε}}={\mbox{α+β}}$) και ο κίνδυνος εμφάνισης της νόσου λόγω μη έκθεσης είναι ${\mbox{γ}}/{\mbox{Ν}}_{\mbox{μ}}$. Ο σχετικός κίνδυνος, ΣΚ, είναι ο λόγος των δύο:

${\mbox{ΣΚ}}={\frac {{\mbox{α}}/{\mbox{Ν}}_{\mbox{ε}}}{{\mbox{γ}}/{\mbox{Ν}}_{\mbox{μ}}}}$,

που μπορεί να ξαναγραφεί ως ${\mbox{ΣΚ}}={\frac {\mbox{α/γ}}{{\mbox{Ν}}_{\mbox{ε}}/{\mbox{Ν}}_{\mbox{μ}}}}$

Σε αντιπαραβολή, η απόδοση εμφάνισης της ασθένειας δεδομένης της έκθεσης είναι ${\mbox{α}}/{\mbox{β}}$ και η απόδοση εμφάνισης της νόσου δεδομένης της μη έκθεσης είναι ${\mbox{γ}}/{\mbox{δ}}$. Ο λόγος απόδοσης, ΛΑ, είναι ο λόγος των δύο:

${\mbox{ΛΑ}}={\frac {\mbox{α/β}}{\mbox{γ/δ}}}$

που μπορεί να ξαναγραφεί ως $OR={\frac {\mbox{αδ}}{\mbox{βγ}}}={\frac {\mbox{α/γ}}{\mbox{β/δ}}}$.

Μπορεί να σημειωθεί ότι εάν η ασθένεια είναι σπάνια, τότε ΛΑ ≈ ΣΚ. Πράγματι, για μια σπάνια ασθένεια, θα έχουμε ${\mbox{α}}\ll {\mbox{β}}$ και έτσι ${\mbox{α+β}}\approx {\mbox{β}}$, επομένως ${\mbox{α}}/({\mbox{α+β}})\approx {\mbox{α}}/{\mbox{β}}$. Με άλλα λόγια, για τον εκτεθειμένο πληθυσμό, ο κίνδυνος εμφάνισης της νόσου είναι περίπου ίσος με την απόδοση. Παρόμοια συλλογιστική πορεία δείχνει ότι ο κίνδυνος είναι περίπου ίσος με την απόδοση και για τον μη εκτεθειμένο πληθυσμό. Επομένως, ο λόγος των κινδύνων (ΣΚ) είναι περίπου ίσος με τον λόγο των αποδόσεων (ΛΑ). Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε απλώς να παρατηρήσουμε ότι η παραδοχή σπανιότητας της νόσου λέει πως ${\mbox{Ν}}_{\mbox{ε}}\approx {\mbox{β}}$ και ${\mbox{Ν}}_{\mbox{μ}}\approx {\mbox{δ}}$, από το οποίο συνεπάγεται ότι ${\mbox{Ν}}_{\mbox{ε}}/{\mbox{Ν}}_{\mbox{μ}}\approx {\mbox{β/δ}}$. Με άλλα λόγια, οι παρονομαστές στις τελικές εκφράσεις για τον ΣΚ και τον ΛΑ είναι περίπου οι ίδιοι. Οι αριθμητές είναι ακριβώς οι ίδιοι, και έτσι καταλήγουμε ότι ΛΑ ≈ ΣΚ. Επιστρέφοντας στην υποθετική μας μελέτη, το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε συχνά είναι ότι ενδέχεται να μην έχουμε τα δεδομένα για να εκτιμήσουμε και τις τέσσερις μεταβλητές (α, β, γ και δ). Για παράδειγμα, ενδέχεται να μην έχουμε δεδομένα για όλο τον πληθυσμό σχετικά με το ποιος υπέστη ή δεν υπέστη τον παιδικό τραυματισμό.

Συχνά μπορούμε να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα διενεργώντας τυχαία δειγματοληψία στον πληθυσμό: δηλαδή, εάν ούτε η νόσος ούτε η έκθεση στον τραυματισμό είναι πολύ σπάνια στον πληθυσμό μας, τότε μπορούμε να επιλέξουμε (ας πούμε) 100 άτομα τυχαία και να προσδιορίσουμε τις τέσσερις μεταβλητές σε αυτό το δείγμα. Υπό την προϋπόθεση ότι το δείγμα είναι αρκετά αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού, τότε ο ΣΚ που υπολογίζεται για αυτό το δείγμα θα είναι μια καλή εκτίμηση για τον ΣΚ ολόκληρου του πληθυσμού.

Ωστόσο, ορισμένες ασθένειες μπορεί να είναι τόσο σπάνιες που, κατά πάσα πιθανότητα, ακόμη και ένα μεγάλο τυχαίο δείγμα μπορεί να μην περιέχει ούτε ένα πάσχοντα (ή μπορεί να περιέχει κάποιους, αλλά να μην αρκούν για να επιτευχθεί η επιθυμητή στατιστική σημαντικότητα). Αυτό θα καθιστούσε αδύνατο τον υπολογισμό του ΣΚ. Ωστόσο, ενδέχεται να είμαστε σε θέση να εκτιμήσουμε τον ΛΑ, υπό την προϋπόθεση ότι, σε αντίθεση με την ασθένεια, η έκθεση στον παιδικό τραυματισμό δεν είναι πολύ σπάνια. Φυσικά, επειδή η ασθένεια είναι σπάνια, η τιμή του ΛΑ είναι και η εκτίμησή μας για τον ΣΚ.

Λαμβάνοντας την τελική έκφραση για τον ΛΑ: το κλάσμα στον αριθμητή, ${\mbox{α/γ}}$, μπορεί να εκτιμηθεί συλλέγοντας όλα τα γνωστά κρούσματα της νόσου (προφανώς πρέπει να υπάρχουν κάποια, αλλιώς δεν θα κάναμε εξ αρχής την μελέτη) και βλέποντας πόσοι από τους ασθενείς είχαν την έκθεση και πόσοι όχι. Από την άλλη, το κλάσμα στον παρονομαστή, ${\mbox{β/δ}}$, που είναι η απόδοση του παιδικού τραυματισμού μεταξύ των υγιών ατόμων, μπορεί να εκτιμηθεί με τυχαία δειγματοληψία του πληθυσμού, υπό την προϋπόθεση ότι ο επιπολασμός της έκθεσης στον παιδικό τραυματισμό δεν είναι πολύ μικρός, έτσι ώστε να είναι πιθανό ένα τυχαίο δείγμα διαχειρίσιμου μεγέθους να περιέχει έναν ικανοποιητικό αριθμό ατόμων που είχαν την έκθεση. Εδώ λοιπόν η ασθένεια είναι πολύ σπάνια, αλλά ο παράγοντας που πιστεύεται ότι συμβάλλει σε αυτήν δεν είναι τόσο σπάνιος. Τέτοιες καταστάσεις είναι αρκετά συχνές στην πράξη.

Έτσι μπορούμε να εκτιμήσουμε τον ΛΑ, και στην συνέχεια, επικαλούμενοι την παραδοχή σπανιότητας της νόσου, λέμε ότι αυτό είναι μια καλή προσέγγιση του ΣΚ. Παρεμπιπτόντως, το σενάριο που περιγράφεται παραπάνω είναι ένα κλασικό παράδειγμα μελέτης πασχόντων–μαρτύρων.

Σύγκριση με τον σχετικό κίνδυνο

Σε κλινικές μελέτες, καθώς και σε ορισμένες άλλες περιπτώσεις, η παράμετρος μεγαλύτερου ενδιαφέροντος είναι ο σχετικός κίνδυνος και όχι ο λόγος απόδοσης. Ο σχετικός κίνδυνος εκτιμάται καλύτερα χρησιμοποιώντας ένα τυχαίο δείγμα του πληθυσμού, αλλά εάν ισχύει η παραδοχή σπανιότητας της νόσου, ο λόγος απόδοσης είναι μια καλή προσέγγιση του σχετικού κινδύνου – η απόδοση είναι p / (1 – p ), έτσι όταν το p κινείται προς το μηδέν, το 1 – p κινείται προς το 1, που σημαίνει ότι η απόδοση προσεγγίζει τον κίνδυνο (πιθανότητα) και ο λόγος απόδοσης πλησιάζει τον σχετικό κίνδυνο. Όταν η νόσος δεν είναι σπάνια, ο λόγος απόδοσης μπορεί να υπερεκτιμήσει τον σχετικό κίνδυνο.

Εάν ο απόλυτος κίνδυνος στην ομάδα ελέγχου είναι διαθέσιμος, η μετατροπή μεταξύ των δύο υπολογίζεται από:

${\mbox{ΣΚ}}\approx {\frac {\mbox{ΛΑ}}{1-{\mbox{Κ}}_{\mbox{α}}+({\mbox{Κ}}_{\mbox{α}}\times {\mbox{ΛΑ}})}}$

όπου:

• ΣΚ = σχετικός κίνδυνος
• ΛΑ = λόγος απόδοσης
• Κ_α = απόλυτος κίνδυνος στην μη εκτεθειμένη ομάδα, που δίνεται ως δεκαδικός αριθμός (π.χ.: κίνδυνος 10% δίνεται ως 0,1)

Παρερμηνεία

Ο λόγος απόδοσης συχνά συγχέεται με τον σχετικό κίνδυνο στην ιατρική βιβλιογραφία. Για όσους δεν είναι στατιστικολόγοι, ο λόγος απόδοσης είναι μια δυσνόητη έννοια και δίνει μια πιο εντυπωσιακή εικόνα για την επίδραση της έκθεσης στην έκβαση. Ωστόσο, οι περισσότεροι συγγραφείς θεωρούν ότι ο σχετικός κίνδυνος είναι εύκολα κατανοητός. Σε μια μελέτη, τα μέλη μιας εθνικής οργάνωσης για πάσχοντες από συγκεκριμένη ασθένεια είχαν στην πραγματικότητα 3,5 φορές την πιθανότητα των μη μελών να έχουν ακουστά μια κοινή θεραπεία για αυτήν την ασθένεια. Όμως, ο λόγος απόδοσης ήταν 24 και το άρθρο ανέφερε ότι τα μέλη είχαν «μεγαλύτερη από 20πλασια πιθανότητα να έχουν ακούσει για τη θεραπεία». Μια ανασκόπηση άρθρων που δημοσιεύθηκαν σε δύο επιστημονικά περιοδικά ανέφεραν ότι το 26% των άρθρων που χρησιμοποίησαν λόγο απόδοσης στα αποτελέσματά τους το ερμήνευσαν ως σχετικό κίνδυνο.

Αυτό μπορεί να αντικατοπτρίζει απλά την τάση που έχουν κάποιοι αδαείς συγγραφείς να επιλέγουν τον πιο εντυπωσιακό και πιο εύκολα δημοσιεύσιμο αριθμό. Όμως η χρήση του μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις να είναι σκόπιμα παραπλανητική. Έχει προταθεί ότι ο λόγος απόδοσης πρέπει να παρουσιάζεται ως μέτρο του μεγέθους επίδρασης μόνο όταν ο σχετικός κίνδυνος δεν μπορεί να εκτιμηθεί απευθείας.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Υπολογιστής λόγου απόδοσης - ιστότοπος
• Υπολογιστής λόγου απόδοσης με διάφορες δοκιμές - ιστότοπος
• OpenEpi, ένα διαδικτυακό πρόγραμμα που υπολογίζει τον λόγο απόδοσης για δείγματα χωρίς και με εξομοίωση