Στα μαθηματικά, ένα Σώμα (από το γαλλικό Corps) (το αγγλικό Field)[1][2][3] είναι ένα σύνολο στο οποίο η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση ορίζονται και συμπεριφέρονται ως οι αντίστοιχες πράξεις σε ρητούς και πραγματικούς αριθμούς. Ένα σώμα είναι επομένως μια θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρησιμοποιείται ευρέως στην άλγεβρα, τη θεωρία αριθμών και σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών.

Το κανονικό επτάγωνο δεν μπορεί να κατασκευαστεί μόνο με χάρακα και διαβήτη, κάτι που μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το σώμα των κατασκευάσιμων αριθμών.

Τα πιο γνωστά σώματα είναι το σώμα των ρητών αριθμών, το σώμα των πραγματικών αριθμών και το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Πολλά άλλα σώματα, όπως τα σώματα ρητών συναρτήσεων, τα σώματα αλγεβρικών συναρτήσεων, τα σώματα αλγεβρικών αριθμών και τα p-adic σώματα χρησιμοποιούνται και μελετώνται συνήθως στα μαθηματικά, ιδίως στη θεωρία αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία. Τα περισσότερα κρυπτογραφικά πρωτόκολλα βασίζονται σε πεπερασμένα σώματα, δηλαδή σώματα με πεπερασμένα πολλά στοιχεία.

Η θεωρία των σωμάτων αποδεικνύει ότι η τριχοτόμηση της γωνίας και ο τετραγωνισμός του κύκλου δεν μπορούν να γίνουν με πυξίδα και διαβήτη. Η Θεωρία Γκαλουά, η οποία είναι αφιερωμένη στην κατανόηση των συμμετριών των επεκτάσεων των πεδίων, παρέχει μια κομψή απόδειξη του θεωρήματος Άμπελ-Ράφινι ότι οι γενικές πενταγωνικές εξισώσεις δεν μπορούν να επιλυθούν με ρίζες.

Τα σώματα χρησιμεύουν ως θεμελιώδεις έννοιες σε διάφορους μαθηματικούς τομείς. Αυτό περιλαμβάνει διάφορους κλάδους της μαθηματικής ανάλυσης, οι οποίοι βασίζονται σε σώματα με πρόσθετη δομή. Βασικά θεωρήματα στην ανάλυση εξαρτώνται από τις δομικές ιδιότητες του σώματος των πραγματικών αριθμών. Το πιο σημαντικό για αλγεβρικούς σκοπούς, οποιοδήποτε σώμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως τα κλιμάκια για έναν διανυσματικό χώρο, ο οποίος αποτελεί το τυπικό γενικό πλαίσιο για τη γραμμική άλγεβρα. Τα σώµατα αριθµών, τα αδέρφια του σώµατος των ρητών αριθµών, µελετώνται σε βάθος στη θεωρία αριθµών. Τα σώματα συναρτήσεων μπορούν να βοηθήσουν στην περιγραφή ιδιοτήτων γεωμετρικών αντικειμένων.

Ιδιότητες

Επεξεργασία

Ένα σύνολο   αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο  , οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

  1.  
  2.   (υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F), τέτοιο ώστε
  •   για κάθε   που ανήκει στο  , και
  •   (για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0).
  1.   Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
  2.  
  3. Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
  4.  
  5.  

Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το   και το   και το σώμα των μιγαδικών αριθμών  . Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με  , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει   τέτοιο ώστε a*  =1.

Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b*  και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.

Ένας δακτύλιος   καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :

  • Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
  • Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο  ώστε   για κάθε  
  • Για κάθε   υπάρχει στοιχείο του   το οποίο συμβολίζουμε με   τέτοιο ώστε  

Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών  , καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.

Έστω F σώμα. Ένα υποσύνολο του F, έστω Κ, ονομάζεται υπόσωμα του F αν ισχύουν τα εξης: α) το Κ είναι υποδακτύλιος του F β) για κάθε κ που ανήκει στο Κ\(0) υπάρχει κ^(-1) που ανήκει στο Κ

Δημοσιεύσεις

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Field (mathematics) - Saylor Academy
  2. «Field | mathematics | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 21 Ιουνίου 2024. 
  3. Roman, Steven (20 Δεκεμβρίου 2013). Field Theory. Springer. ISBN 978-1-4612-2516-4.