Ταυτοτικός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ο ταυτοτικός ή μοναδιαίος πίνακας είναι ο πίνακας ο οποίος έχει την μονάδα σε όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου και το μηδέν σε όλα τα άλλα στοιχεία. Πιο συγκεκριμένα, σε έναν διανυσματικό χώρο $V$ με $n$ διαστάσεις, ο $n\times n$ ταυτοτικός πίνακας είναι ο πίνακας $I_{n}$ με

$(I_{n})_{ij}={\begin{cases}1&{\text{αν }}i=j,\\0&{\text{διαφορετικά}},\end{cases}}$

για κάθε $1\leq i,j\leq n$, όπου $0$ είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και $1$ το ουδέτερο στοιχείο του βαθμωτού πολλαπλασιασμού στον διανυσματικό χώρο. Η συνάρτηση στο δεξί μέλος είναι η συνάρτηση δέλτα του Κρόνεκερ, επομένως $(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}$.

Διαγραμματικά ο πίνακας δίνεται ως εξής:

$I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

Παραδείγματα

• Για $n=1$, $I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$.
• Για $n=2$, $I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$.
• Για $n=3$, $I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$.

Ιδιότητες

• Για κάθε $n\times n$ πίνακα $A$ έχουμε ότι

$A\cdot I_{n}=I_{n}\cdot A=A$

Δηλαδή, ο ταυτοτικός πίνακας είναι το ταυτοτικό (ή ουδέτερο) στοιχείο των πινάκων ως προς τον πολλαπλασιασμό πινάκων.

• Πιο γενικά, για κάθε $n\times m$ πίνακα $A$ έχουμε ότι

$A\cdot I_{m}=I_{n}\cdot A=A$.

• Η ορίζουσα του πίνακα είναι $\mathrm {det} (I_{n})=1$.
• Το ίχνος του πίνακα $\mathrm {tr} (I_{n})=\textstyle \sum _{i=1}^{n}(I_{n})_{ii}=n$.
• Ο πίνακας είναι συμμετρικός, καθώς ο ανάστροφος $I_{n}^{T}=I_{n}$.
• Ο πίνακας είναι ορθογώνιος, καθώς $I_{n}\cdot I_{n}^{T}=I_{n}\cdot I_{n}=I_{n}$.
• Ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του είναι ο ίδιος ο πίνακας.
• Έχει ιδιοτιμή το $1$ με πολλαπλότητα $n$ και κάθε διάνυσμα $v\neq \mathbf {0}$ είναι ιδιοδιάνυσμα.
• Ο πίνακας είναι διαγώνιος και μπορεί να γραφτεί ως $\mathrm {diag} (1,1,\ldots ,1)$.