Άνοιγμα κυρίου μενού
Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων sinh, cosh και tanh
Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων csch, sech και coth

Στα μαθηματικά, οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο (συμβολίζεται sinh) και το υπερβολικό συνημίτονο (cosh), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολική εφαπτομένη (tanh) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.[1]

Αλγεβρικές εκφράσειςΕπεξεργασία

  • Υπερβολικό ημίτονο
 
  • Υπερβολικό συνημίτονο
 
  • Υπερβολική εφαπτομένη
 
  • Υπερβολική συνεφαπτομένη
 
  • Υπερβολική τέμνουσα
 
  • υπερβολική συντέμνουσα
 

Όπου   είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως  .

Χρήσιμες σχέσειςΕπεξεργασία

 
 

Οπότε:

 
 
 
 

Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις.

 
 
 

Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:

 

η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:

 

Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.[2]:

 

Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με λογάριθμουςΕπεξεργασία

 
 
 
 
 
 

ΠαράγωγοιΕπεξεργασία

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Συνήθη ολοκληρώματαΕπεξεργασία

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Στις πιο πάνω σχέσεις, C καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.

Σχέσεις με σειρά ΤέιλορΕπεξεργασία

Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor:

 
 
 
  (Σειρά Laurent)
 
  (Σειρά Laurent)

όπου

  είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλι
  είναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ

ΑναφορέςΕπεξεργασία

  1. Tom M. Apostol. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Τόμος Ι. Ατλαντίς. ISBN 9600700672. 
  2. Eric W. Weisstein. «Hyperbolic Tangent». MathWorld. Ανακτήθηκε στις 20 Οκτωβρίου 2008. 

Δείτε επίσηςΕπεξεργασία

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Hyperbolic function της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).