Χιούγκο Στάινχαους

Ο Βουαντίσουφ Χιούγκο Ντιονίζι Στάινχαους (πολωνικά: Władysław Hugo Dionizy Steinhaus) (14 Ιανουαρίου 1887 - 25 Φεβρουαρίου 1972) ήταν Πολωνός μαθηματικός και διδάσκαλος. Απέκτησε το διδακτορικό του υπό τον Ντάβιντ Χίλμπερτ στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν το 1911 και αργότερα έγινε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Γιαν Καζίμιες στο Λβουφ (τώρα Λβιβ, Ουκρανία), όπου βοήθησε στην καθιέρωση αυτού που αργότερα έγινε γνωστό ως Σχολή Μαθηματικών του Λβιβ. Του αποδίδεται η «ανακάλυψη» του μαθηματικού Στέφαν Μπάναχ, με τον οποίο έδωσε μια αξιοσημείωτη συμβολή στη συναρτησιακή ανάλυση μέσω του θεωρήματος Μπάναχ-Στάινχαους. Μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο, ο Στάινχαους έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ίδρυση του τμήματος μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Βρότσουαφ και στην αναβίωση των πολωνικών μαθηματικών από την καταστροφή του πολέμου.

Χιούγκο Στάινχαους
Hugo Steinhaus.jpg
Γενικές πληροφορίες
Όνομα στη
μητρική γλώσσα
Hugo Steinhaus (Πολωνικά)
Γέννηση14  Ιανουαρίου 1887[1][2][3]
Γιάσουο[4]
Θάνατος25  Φεβρουαρίου 1972[1][2][3]
Βρότσουαφ[5]
Τόπος ταφήςHoly Family Cemetery (51°6′29″ s. š., 17°6′43″ v. d.)[6]
ΚατοικίαΠολωνία
ΕθνικότηταΕβραίοι
Χώρα πολιτογράφησηςεντεύθεν του Λέιθα χώρες[7]
Πολωνία
Εκπαίδευση και γλώσσες
Ομιλούμενες γλώσσεςΠολωνικά
ΣπουδέςΠανεπιστήμιο του Λβιβ (1904–1906)[8]
Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν (1906–1911)[9][8]
Πληροφορίες ασχολίας
Ιδιότηταμαθηματικός
ΕργοδότηςΠανεπιστήμιο του Βρότσουαφ (1945–1963)[8]
Πανεπιστήμιο του Λβιβ (1916–1941)[10][8]
Αξιοσημείωτο έργοσημειογραφία Στάινχαους-Μόζερ
θεώρημα Μπάναχ-Στάινχαους
Θεώρημα του Στάινχαους
Αλγόριθμος Στάινχαους-Τζόνσον-Τρότερ
Στρατιωτική σταδιοδρομία
Πόλεμοι/μάχεςΑ΄ Παγκόσμιος Πόλεμος
Αξιώματα και βραβεύσεις
ΒραβεύσειςΔιοικητής με Αστέρι του Τάγματος της Αναγέννησης της Πολωνίας‎
Τάγμα του Λαβάρου της Εργασίας
honorary doctor of the Adam Mickiewicz University in Poznań
επίτιμος διδάκτωρ του Πανεπιστημίου της Βαρσοβίας
Stefan Banach Prize (1946)
Τάγμα της Αναγέννησης της Πολωνίας
Τάγμα του Λαβάρου της Εργασίας, 1η κλαση[11]
Αξιωματικός του Τάγματος της Αναγέννησης της Πολωνίας[12]
Commons page Σχετικά πολυμέσα

Ο Στάινχαους είναι συγγραφέας περίπου 170 επιστημονικών άρθρων και βιβλίων και έχει αφήσει την κληρονομιά και τη συμβολή του σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, όπως η συναρτησιακή ανάλυση, η γεωμετρία, η μαθηματική λογική και η τριγωνομετρία. Αξιοσημείωτα, θεωρείται ως ένας από τους πρώτους ιδρυτές της θεωρίας παιγνίων και της θεωρίας πιθανοτήτων, γεγονός που οδήγησε στη μεταγενέστερη ανάπτυξη πιο ολοκληρωμένων προσεγγίσεων από άλλους μελετητές.

Πρώιμη ζωή και σπουδέςΕπεξεργασία

Ο Στάινχαους γεννήθηκε στις 14 Ιανουαρίου 1887 στο Γιάσουο[13] της Αυστροουγγαρίας, σε οικογένεια με εβραϊκές ρίζες. Ο πατέρας του, Μπογκούσουαφ, ήταν τοπικός βιομήχανος, ιδιοκτήτης εργοστασίου τούβλων και έμπορος. Η μητέρα του ήταν η Εβελίνα, το γένος Λίπσιτς. Ο θείος του Χιούγκο, Ιγκνάτσι Στάινχαους, ήταν δικηγόρος και ακτιβιστής στο Koło Polskie (Πολωνικός Κύκλος) και αναπληρωτής του Σέιμ της Γαλικίας και Λοδομερίας, της περιφερειακής συνέλευσης του Βασιλείου της Γαλικίας και Λοδομερίας.[14]

Ο Χιούγκο τελείωσε τις σπουδές του στο γυμνάσιο στο Γιάσουο το 1905. Η οικογένειά του ήθελε να γίνει μηχανικός, αλλά τον έλκυσαν τα καθαρά μαθηματικά και άρχισε να μελετά μόνος του τα έργα διάσημων σύγχρονων μαθηματικών. Την ίδια χρονιά άρχισε να σπουδάζει φιλοσοφία και μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Λέμπεργκ. Το 1906, μεταγράφηκε στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Σε εκείνο το πανεπιστήμιο έλαβε το διδακτορικό του το 1911, έχοντας εκπονήσει τη διδακτορική του διατριβή υπό την επίβλεψη του Ντάβιντ Χίλμπερτ. Ο τίτλος της διατριβής του ήταν Neue Anwendungen des Dirichlet'schen Prinzips («Νέες εφαρμογές στην αρχή του Ντιρισλέ»).[15]

Στην αρχή του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου, ο Στάινχαους επέστρεψε στην Πολωνία και υπηρέτησε στην Πολωνική Λεγεώνα του Γιούζεφ Πιουσούτσκι, μετά την οποία έζησε στην Κρακοβία.[16]

Ήταν άθεος.[17]

Ακαδημαϊκή καριέραΕπεξεργασία

Πολωνία του μεσοπολέμουΕπεξεργασία

Κατά την περίοδο 1916-1917, και πριν η Πολωνία ανακτήσει την πλήρη ανεξαρτησία της, η οποία συνέβη το 1918, ο Στάινχαους εργάστηκε στην Κρακοβία για το Υπουργείο Εσωτερικών στο εφήμερο κράτος-μαριονέτα του Βασιλείου της Πολωνίας (1917-1918).[18]

Το 1917, άρχισε να εργάζεται στο Πανεπιστήμιο του Λέμπεργκ (αργότερα Πανεπιστήμιο Γιαν Καζίμιες στην Πολωνία) και απέκτησε τα υφηγεσία το 1920.[18] Το 1921, έγινε αναπληρωτής καθηγητής και το 1925 πλήρης καθηγητής στο ίδιο πανεπιστήμιο.[18] Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, δίδαξε ένα μάθημα για την τότε θεωρία αιχμής της ολοκλήρωσης κατά Λεμπέγκ, ένα από τα πρώτα τέτοια μαθήματα που προσφέρονταν εκτός Γαλλίας.

Ενώ βρισκόταν στο Λβουφ, ο Στάινχαους συνίδρυσε τη Σχολή Μαθηματικών του Λβιβ και δραστηριοποιήθηκε στον κύκλο των μαθηματικών που σχετίζονταν με το Scottish Café, αν και, σύμφωνα με τον Στανίσουαφ Ούλαμ, για τις συγκεντρώσεις του κύκλου, ο Στάινχαους θα προτιμούσε γενικά ένα πιο πολυτελή τεϊοποτείο πιο κάτω στο δρόμο.

Β΄ Παγκόσμιος ΠόλεμοςΕπεξεργασία

 
Το Σκωτσέζικο Βιβλίο από τη Σχολή Μαθηματικών του Λβιβ, στο οποίο ο Στάινχαους συνέβαλε και πιθανότατα έσωσε κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου.

Τον Σεπτέμβριο του 1939, αφού η Ναζιστική Γερμανία και η Σοβιετική Ένωση εισέβαλαν και κατέλαβαν την Πολωνία, ως εκπλήρωση του Συμφώνου Μολότοφ-Ρίμπεντροπ που είχαν υπογράψει νωρίτερα, το Λβουφ βρέθηκε αρχικά υπό σοβιετική κατοχή. Ο Στάινχαους σκέφτηκε να δραπετεύσει στην Ουγγαρία, αλλά τελικά αποφάσισε να παραμείνει στο Λβουφ. Οι Σοβιετικοί αναδιοργάνωσαν το πανεπιστήμιο για να του δώσουν έναν πιο ουκρανικό χαρακτήρα, αλλά διόρισαν τον Στέφαν Μπάναχ (μαθητή του Στάινχαους) ως κοσμήτορα του τμήματος μαθηματικών και ο Στάινχαους συνέχισε να διδάσκει εκεί. Η σχολή του τμήματος στο σχολείο ενισχύθηκε επίσης από αρκετούς Πολωνούς πρόσφυγες από την κατεχόμενη από τους Γερμανούς Πολωνία. Σύμφωνα με τον Στάινχαους, κατά τη διάρκεια της εμπειρίας αυτής της περιόδου, «απέκτησε μια ανυπέρβλητη σωματική αποστροφή σε σχέση με κάθε είδους σοβιετικούς διοικητές, πολιτικούς και επιτρόπους».[A]

Κατά τη διάρκεια του μεσοπολέμου και την εποχή της σοβιετικής κατοχής, ο Στάινχαους συνέβαλε με δέκα προβλήματα στο διάσημο Σκωτσέζικο Βιβλίο, συμπεριλαμβανομένου του τελευταίου, που καταγράφηκε λίγο πριν το Λβουφ αιχμαλωτιστεί από τους Ναζί το 1941, κατά τη διάρκεια της Επιχείρησης Μπαρμπαρόσα.

Ο Στάινχαους, λόγω της εβραϊκής καταγωγής του, πέρασε τη ναζιστική κατοχή κρυμμένος, πρώτα ανάμεσα σε φίλους στο Λβουφ, μετά στις μικρές πόλεις Οσιτσίνα, κοντά στο Ζάμοστς και Μπερντέχουφ, κοντά στην Κρακοβία.[19][20] Η πολωνική αντιναζιστική αντίσταση του παρείχε πλαστά έγγραφα ενός δασοφύλακα που είχε πεθάνει λίγο νωρίτερα, με το όνομα Γκζέγκος Κροχμάλνι. Με αυτό το όνομα δίδασκε κρυφά μαθήματα (η τριτοβάθμια εκπαίδευση ήταν απαγορευμένη για τους Πολωνούς υπό γερμανική κατοχή). Ανησυχώντας για την πιθανότητα επικείμενου θανάτου, αν συλλαμβάνονταν από Γερμανούς, ο Στάινχαους, χωρίς πρόσβαση σε επιστημονικό υλικό, ανασκεύασε από τη μνήμη του και κατέγραψε όλα τα μαθηματικά που γνώριζε, εκτός από τη συγγραφή άλλων ογκωδών απομνημονευμάτων, από τα οποία έχει δημοσιευτεί μόνο ένα μικρό μέρος.

Επίσης, ενώ κρυβόταν και αποκομμένος από αξιόπιστες ειδήσεις για την πορεία του πολέμου, ο Στάινχαους επινόησε ένα στατιστικό μέσο για να εκτιμήσει μόνος του τις γερμανικές απώλειες στο μέτωπο με βάση σποραδικά μοιρολόγια που δημοσιεύτηκαν στον τοπικό τύπο. Η μέθοδος βασιζόταν στη σχετική συχνότητα με την οποία τα μοιρολόγια δήλωναν ότι ο στρατιώτης που πέθανε ήταν γιος κάποιου, ο «δεύτερος γιος» κάποιου, ο «τρίτος γιος» κάποιου και ούτω καθεξής.

Σύμφωνα με τον μαθητή και βιογράφο του, Μαρκ Κατς, ο Στάινχαους του είπε ότι η πιο ευτυχισμένη μέρα της ζωής του ήταν οι 24 ώρες που μεσολάβησαν από τη στιγμή που οι Γερμανοί έφυγαν από την κατεχόμενη Πολωνία και οι Σοβιετικοί δεν είχαν φτάσει ακόμη («Είχαν φύγει και δεν έχει έρθει ακόμη»).

Μετά τον Β΄ Παγκόσμιο ΠόλεμοΕπεξεργασία

 
Αναμνηστική πλακέτα, Βρότσουαφ, Πολωνία

Τις τελευταίες μέρες του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου, ο Στάινχαους, ακόμα κρυμμένος, άκουσε μια φήμη ότι το Πανεπιστήμιο του Λβουφ επρόκειτο να μεταφερθεί στην πόλη Μπρέσλαου (Βρότσουαφ), την οποία η Πολωνία επρόκειτο να αποκτήσει ως αποτέλεσμα της Συμφωνίας του Πότσνταμ (το Λβουφ έγινε μέρος της Σοβιετικής Ουκρανίας). Αν και αρχικά είχε αμφιβολίες, απέρριψε προσφορές για θέσεις καθηγητών στο Λοτζ και στο Λούμπλιν και πήγε στην πόλη, όπου άρχισε να διδάσκει στο Πανεπιστήμιο του Βρότσουαφ. Ενώ βρισκόταν εκεί, αναβίωσε την ιδέα πίσω από το Σκωτσέζικο Βιβλίο από το Λβουφ, όπου εξέχοντες και επίδοξοι μαθηματικοί θα κατέγραφαν προβλήματα ενδιαφέροντος μαζί με τα βραβεία που θα απονεμηθούν για τη λύση τους, ξεκινώντας το Νέο Σκωτσέζικο Βιβλίο. Πιθανότατα ήταν επίσης ο Στάινχαους που διατήρησε το αρχικό Σκωτσέζικο Βιβλίο από το Λβουφ καθ΄ όλη τη διάρκεια του πολέμου και στη συνέχεια το έστειλε στον Στανίσουαφ Ούλαμ, ο οποίος το μετέφρασε στα αγγλικά.

Με τη βοήθεια του Στάινχαους, το Πανεπιστήμιο του Βρότσουαφ έγινε γνωστό για τα μαθηματικά, όπως και το Πανεπιστήμιο του Λβουφ.

Αργότερα, στη δεκαετία του 1960, ο Στάινχαους υπηρέτησε ως επισκέπτης καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Νοτρ Νταμ (1961–62) και στο Πανεπιστήμιο του Σάσσεξ (1966).[21]

Μαθηματικές συνεισφορέςΕπεξεργασία

Ο Στάινχαους έγραψε πάνω από 170 έργα. Σε αντίθεση με τον μαθητή του, Στέφαν Μπάναχ, ο οποίος είχε την τάση να ειδικεύεται στενά στον τομέα της συναρτησιακής ανάλυσης, ο Στάινχαους συνεισέφερε σε ένα ευρύ φάσμα μαθηματικών υποκλάδων, όπως γεωμετρία, θεωρία πιθανοτήτων, συναρτησιακή ανάλυση, θεωρία τριγωνομετρικών σειρών και σειρώνΦουριέ, καθώς και μαθηματική λογική. Έγραψε επίσης στον τομέα των εφαρμοσμένων μαθηματικών και συνεργάστηκε με ενθουσιασμό με μηχανικούς, γεωλόγους, οικονομολόγους, ιατρούς, βιολόγους και, κατά τα λόγια του Κατς, «ακόμα και δικηγόρους».

Πιθανώς η πιο αξιοσημείωτη συμβολή του στη συναρτησιακή ανάλυση ήταν η απόδειξη του 1927 του θεωρήματος Μπάναχ-Στάινχαους, που δόθηκε μαζί με τον Στέφαν Μπάναχ, το οποίο είναι τώρα ένα από τα θεμελιώδη εργαλεία σε αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών.

Το ενδιαφέρον του για τα παιχνίδια τον οδήγησε να προτείνει έναν πρώιμο επίσημο ορισμό μιας στρατηγικής, προβλέποντας την πιο ολοκληρωμένη αντιμετώπιση του Τζον φον Νόιμαν λίγα χρόνια αργότερα. Ως εκ τούτου, θεωρείται πρώιμος ιδρυτής της σύγχρονης θεωρίας παιγνίων.[18] Ως αποτέλεσμα της δουλειάς του σε άπειρα παιχνίδια, ο Στάινχαους, μαζί με έναν άλλον από τους μαθητές του, τον Γιαν Μιτσιέλσκι, πρότειναν το αξίωμα του προσδιορισμού.

Ο Στάινχαους ήταν επίσης ένας από τους πρώτους συνεισφέροντες και συνιδρυτής της θεωρίας πιθανοτήτων, η οποία εκείνη την εποχή ήταν στα σπάργανά της και δεν θεωρούνταν καν ως πραγματικό μέρος των μαθηματικών. Παρείχε την πρώτη αξιωματική μετρητική-θεωρητική περιγραφή του κορώνα ή γράμματα, η οποία επρόκειτο να επηρεάσει την πλήρη αξιωματοποίηση της πιθανότητας από τον Ρώσο μαθηματικό Αντρέι Κολμογκόροφ μια δεκαετία αργότερα. Ο Στάινχαους ήταν επίσης ο πρώτος που προσέφερε ακριβείς ορισμούς για το τι σημαίνει δύο συμβάντα να είναι «ανεξάρτητα», καθώς και για το τι σημαίνει μια τυχαία μεταβλητή να είναι «ομοιόμορφα κατανεμημένη».

Ενώ κρυβόταν κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου, ο Στάινχαους εργάστηκε για το πρόβλημα της δίκαιης κοπής κέικ: πώς να μοιράσει έναν ετερογενή πόρο σε πολλά άτομα με διαφορετικές προτιμήσεις, έτσι ώστε κάθε άτομο να πιστεύει ότι έλαβε ένα αναλογικό μερίδιο. Το έργο του Στάινχαους έχει ξεκινήσει τη σύγχρονη έρευνα του προβλήματος της δίκαιης κοπής κέικ.[B]

Ο Στάινχαους ήταν επίσης το πρώτο άτομο που υπέθεσε το θεώρημα του σάντουιτς ζαμπόν[22] και ένας από τους πρώτους που πρότεινε τη μέθοδο της ομαδοποίησης Κ-μέσων.[23]

ΚληρονομιάΕπεξεργασία

 
Επίτιμο διδακτορικό που απονεμήθηκε στον Στάινχαους από το Πανεπιστήμιο του Πόζναν

Λέγεται ότι ο Στάινχαους «ανακάλυψε» τον Πολωνό μαθηματικό Στέφαν Μπάναχ το 1916, αφού άκουσε κάποιον να προφέρει τις λέξεις «Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ» ενώ βρισκόταν σε ένα πάρκο της Κρακοβίας (ο Στάινχαους αναφέρθηκε στον Μπάναχ ως τη «μεγαλύτερη μαθηματική του ανακάλυψη»).[24] Μαζί με τον Μπάναχ και τον άλλο συμμετέχοντα στη συζήτηση του πάρκου, τον Ότο Νικόντιμ, ο Στάινχαους ξεκίνησε τη Μαθηματική Εταιρεία της Κρακοβίας, η οποία αργότερα εξελίχθηκε στην Πολωνική Μαθηματική Εταιρεία. Ήταν μέλος της Πολωνικής Ακαδημίας Μάθησης και της Πολωνικής Ακαδημίας Επιστημών, της Πολωνικής Μαθηματικής Εταιρείας, της Επιστημονικής Εταιρείας του Βρότσουαφ (Wrocławskie Towarzystwo Naukowe), καθώς και πολλών διεθνών επιστημονικών εταιρειών και επιστημονικών ακαδημιών.[18]

Ο Στάινχαους δημοσίευσε επίσης ένα από τα πρώτα άρθρα στο Fundamenta Mathematicae, το 1921.[25] Επίσης, συνίδρυσε το Studia Mathematica μαζί με τον Στέφαν Μπάναχ (1929), και ίδρυσε το Zastosowania matematyki (Εφαρμογές Μαθηματικών, 1953), το Colloquium Mathematicum και το Monografie Matematyczne (Μαθηματικές Μονογραφίες).[13]

Έλαβε επίτιμο διδακτορικό από το Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας (1958), το Ιατρικό Πανεπιστήμιο του Βρότσουαφ (1961), το Πανεπιστήμιο του Πόζναν (1963) και το Πανεπιστήμιο του Βρότσουαφ (1965).[26]

Ο Στάινχαους είχε πλήρη γνώση πολλών ξένων γλωσσών και ήταν γνωστός για τους αφορισμούς του, σε σημείο που εκδόθηκε μεταθανάτια ένα βιβλιαράκι με τους πιο διάσημους από αυτούς στα πολωνικά, γαλλικά και λατινικά.

Το 2002, η Πολωνική Ακαδημία Επιστημών και το Πανεπιστήμιο του Βρότσουαφ χορήγησαν το «2002, Έτος του Χιούγκο Στάινχαους», για να γιορτάσουν τη συνεισφορά του στην πολωνική και παγκόσμια επιστήμη.[27]

Κύρια έργαΕπεξεργασία

  • Czym jest, a czym nie jest matematyka (Τι είναι τα μαθηματικά και τι δεν είναι, 1923).[26]
  • Sur le principe de la condensation de la singularités (με τον Μπάναχ, 1927)[15]
  • Theorie der Orthogonalreihen (με τον Στέφαν Κάτσμας, 1935).[15][28]
  • Kalejdoskop matematyczny (Μαθηματικά στιγμιότυπα, 1939).[15][26]
  • Taksonomia wrocławska (Ταξινόμηση του Βρότσουαφ, με άλλους, 1951).
  • Sur la liaison et la division des points d'un ensemble fini (Σχετικά με την ένωση και το διαχωρισμό των σημείων ενός πεπερασμένου συνόλου, με άλλους, 1951).[29] Μία από τις πολλαπλές ανακαλύψεις του αλγορίθμου του Μπρούφκα.
  • Sto zadań (Εκατό προβλήματα στα στοιχειώδη μαθηματικά, 1964).[30]
  • Orzeł czy reszka (Κορώνα ή γράμματα, 1961).[31]
  • Słownik racjonalny (Ορθολογικό λεξικό, 1980).[32]

ΤάφοςΕπεξεργασία

Ο Στάινχαους[33] είναι ενταφιασμένος στο Cmentarz Świętej Rodziny («Ιερό Οικογενειακό Κοιμητήριο») στο Σενπόλνο του Βρότσουαφ.

Την 1η Νοεμβρίου 2017, προέκυψε μια διαμάχη καθώς το Πανεπιστήμιο του Βρότσουαφ δεν έκανε καμία ενέργεια για να πληρώσει τον τάφο του για να τον κρατήσει μέχρι το 2022 ενόψει της λήξης του, επειδή υποτίθεται ότι «δεν είχε χρήματα». Ο δήμαρχος Ράφαου Ντουτκιέβιτς επικρίθηκε επίσης ευρέως επειδή δεν έκανε τίποτα. Διάφοροι άνθρωποι οργάνωσαν μια φιλανθρωπία και πλήρωσαν για να παραμείνει ο τάφος.[34]

Δείτε επίσηςΕπεξεργασία

ΣημειώσειςΕπεξεργασία

  1. ^ Απέκτησα μια ακατανίκητη σωματική προσβολή προς όλους τους σοβιετικούς αξιωματούχους, πολιτικούς και επιτρόπους (Ντούντα, σελ. 23).
  2. ^ Η λύση στην εκδοχή των δύο ατόμων του προβλήματος είναι ο κλασικός παιδικός κανόνας διαίρει και διάλεξε. Ο Στάινχαους ήταν ο πρώτος που γενίκευσε τον ορισμό του προβλήματος σε τρία ή περισσότερα άτομα, καλώντας το κριτήριο αναλογική διαίρεση.

ΠαραπομπέςΕπεξεργασία

  1. 1,0 1,1 1,2 Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας, Κρατική Βιβλιοθήκη του Βερολίνου, Βαυαρική Κρατική Βιβλιοθήκη, Εθνική Βιβλιοθήκη της Αυστρίας: Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 27  Απριλίου 2014.
  2. 2,0 2,1 2,2 MacTutor History of Mathematics archive. Ανακτήθηκε στις 22  Αυγούστου 2017.
  3. 3,0 3,1 3,2 (Αγγλικά) SNAC. w61009zd. Ανακτήθηκε στις 9  Οκτωβρίου 2017.
  4. Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας, Κρατική Βιβλιοθήκη του Βερολίνου, Βαυαρική Κρατική Βιβλιοθήκη, Εθνική Βιβλιοθήκη της Αυστρίας: Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 12  Δεκεμβρίου 2014.
  5. Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας, Κρατική Βιβλιοθήκη του Βερολίνου, Βαυαρική Κρατική Βιβλιοθήκη, Εθνική Βιβλιοθήκη της Αυστρίας: Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 31  Δεκεμβρίου 2014.
  6. 6,0 6,1 mogily.pl/swrodzinywroclaw/pochowani.
  7. Ανακτήθηκε στις 5  Φεβρουαρίου 2021.
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 MacTutor History of Mathematics archive.
  9. Ανακτήθηκε στις 8  Ιουλίου 2019.
  10. Ανακτήθηκε στις 3  Ιουλίου 2019.
  11. Ανακτήθηκε στις 11  Σεπτεμβρίου 2021.
  12. Ανακτήθηκε στις 8  Ιανουαρίου 2022.
  13. 13,0 13,1 Foreword to "One hundred problems in elementary mathematics". Courier Dover Publications. 1974. σελ. 4. ISBN 978-0-486-23875-3. 
  14. Official webpage of the town of Jasło (2010). «Steinhaus Hugo Dyonizy». Mieszkaniec: Steinhaus Hugo Dyonizy. Jasło. Moje miasto, nasz wspólny dom. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 1 Οκτωβρίου 2011. Ανακτήθηκε στις 16 Αυγούστου 2011. 
  15. 15,0 15,1 15,2 15,3 Κατς, Μαρκ (1974). «Hugo Steinhaus--A Reminiscence and a Tribute». The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 81 (6): 572–581. doi:10.2307/2319205. http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk5/js/biography/steinhaus.pdf. 
  16. John O'Connor· Έντμουντ Φ. Ρόμπερτσον (Φεβρουάριος 2000). «Hugo Dyonizy Steinhaus». The MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Ανακτήθηκε στις 16 Αυγούστου 2011. 
  17. Steven G. Krantz (2002). Mathematical Apocrypha: Stories and Anecdotes of Mathematicians and the Mathematical. Mathematical Association of America. σελ. 202. ISBN 9780883855393. ...Steinhaus answered that, "God is always present." It should be noted that Steinhaus was an outspoken atheist. 
  18. 18,0 18,1 18,2 18,3 18,4 Μονίκα Σλίβα (4 Μαΐου 2010). «Hugo Steinhaus». Πανεπιστήμιο του Βρότσουαφ. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 5 Οκτωβρίου 2011. 
  19. Κατς, Μαρκ (1987). Enigmas of chance: an autobiography. University of California Press. σελίδες 49–53. ISBN 978-0-520-05986-3. 
  20. Duda, Roman (2005). «Początki Matematyki w Powojennym Wrocławiu». Przegląd Uniwesytetcki (Polskie Towarzystwo Matematyczne. Oddział Wrocławski) (September). http://www.math.uni.wroc.pl/ptm/Zjazd2005_PublikacjePrasowe/MatemPowoWroclawDuda.pdf. 
  21. Chełminiak, Wiesław (2002). «Wrocław Europy». Wprost. http://www.wprost.pl/ar/13078/Wroclaw-Europy/?O=13078&pg=2. Ανακτήθηκε στις 20 Αυγούστου 2011. 
  22. Beyer, W. A.; Zardecki, Andrew (2004). «The early history of the ham sandwich theorem». American Mathematical Monthly 111 (1): 58–61. doi:10.2307/4145019. https://zenodo.org/record/1235195. 
  23. Lindsten, Frederik; Ohlsson, Frederik; Lennard, Ljung (2011). «Just Relax and Come Clustering. A Convexification of k-means Clustering». Technical Report from Automatic Control at Linköpings Universitet (Linköping University): 1. 
  24. Feferman, Anita Burdman (2004). Alfred Tarski: life and logic. Cambridge University Press. σελ. 29. ISBN 978-0-521-80240-6. 
  25. Κουρατόφσκι, Καζίμιες; Μπόρσουκ, Κάρολ (1978). «One Hundred Volumes of Fundamenta Mathematicae». Fundamenta Mathematicae (Πολωνική Ακαδημία Επιστημών) 100: 3. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm100/fm100126.pdf. 
  26. 26,0 26,1 26,2 «Prof. Hugo Steinhaus». Wrocław University of Technology. 
  27. «2002-Rok Hugona Steinhausa (2002 - Year of Hugo Steinhaus)». Πολυτεχνείο του Βρότσουαφ. 4 Ιανουαρίου 2002. Ανακτήθηκε στις 26 Αυγούστου 2011. 
  28. Στέφαν Κάτσμας· Χιούγκο Στάινχαους (1951). Theorie der Orthogonalreihen. Chelsea Pub. Co. Ανακτήθηκε στις 2 Σεπτεμβρίου 2011. 
  29. Steinhaus· και άλλοι. (1951). «Sur la liaison et la division des points d'un ensemble fini» (PDF). Polish Virtual Library of Science - Mathematical Collection. 
  30. Στάινχαους, Χιούγκο (1974). One hundred problems in elementary mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-23875-3. 
  31. Στάινχαους, Χιούγκο (1961), Orzeł czy reszka, I, Βαρσοβία: Państwowe Wydaw, OCLC 68678009 
  32. Στάινχαους, Χιούγκο (1980), Słownik racjonalny, I, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, OCLC 7272718 
  33. «Hugo Dyonizy Steinhaus». K. Szajowski. Otter Creek Holdings, LLC. Μαΐου 2010. Ανακτήθηκε στις 28 Μαΐου 2018. 
  34. [1]

Περαιτέρω ανάγνωσηΕπεξεργασία

Εξωτερικοί σύνδεσμοιΕπεξεργασία