Θεώρημα Στιούαρτ

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Στιούαρτ ή σχέση Στιούαρτ (αναφέρεται και ως θεώρημα Stewart ή σχέση Stewart) είναι μία σχέση για το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος από την μία κορυφή ενός τριγώνου προς την απέναντι πλευρά. Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και ένα σημείο $\mathrm {\Delta }$ της $\mathrm {B\Gamma }$. Τότε,

Τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και $\mathrm {\Delta }$ σημείο της $\mathrm {B\Gamma }$.

$\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta } =\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } )$.

Το θεώρημα Στιούαρτ είναι μία γενίκευση του πρώτου θεωρήματος διαμέσων και επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκους των υψών, των διαμέσων και των διχοτόμων ενός τριγώνου.

Η γενικευμένη σχέση Στιούαρτ δίνει ότι για κάθε σημείο $\mathrm {\Delta }$ της ευθείας $\mathrm {B\Gamma }$ (όχι μόνο για το ευθύγραμμο τμήμα), ισχύει ότι

$\mathrm {AB} ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {\Delta \Gamma } }}+\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {\Gamma B} }}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {B\Delta } }}+{\overline {\mathrm {\Delta \Gamma } }}\cdot {\overline {\mathrm {\Gamma B} }}\cdot {\overline {\mathrm {B\Delta } }}=0$.

Το θεώρημα ονομάζεται έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μάθιου Στιούαρτ που δημοσίευσε τη σχέση το 1746.

Απόδειξη

Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta \Gamma }$, έχουμε ότι

$\mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta \Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \cos \phi$.

Αντίστοιχα, στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Delta }$, έχουμε ότι

$\mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {A\Delta ^{2}} +\mathrm {\Delta B} ^{2}+2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta B} \cdot \cos \phi .$

Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε ότι

${\begin{aligned}\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta } &=\left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta B} ^{2}+2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta B} \cdot \cos \phi \right)\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \\&\qquad +\left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta \Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \cos \phi \right)\cdot \mathrm {B\Delta } \\&=\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot (\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {B\Delta } )+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot (\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {B\Delta } )\\&=\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } ),\end{aligned}}$

ολοκληρώνοντας την απόδειξη. $\square$

Εφαρμογές

Υπολογισμός διαμέσου

Για τον υπολογισμό του μήκους της διαμέσου, έχουμε ότι $\mathrm {\Delta }$ είναι το μέσο της διαμέσουm δηλαδή $\mathrm {B\Delta } =\mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}$. Επομένως, η σχέση Στιούαρτ δίνει ότι

$\mathrm {AB} ^{2}\cdot {\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot {\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}=\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}}).$

Απλοποιώντας, λαμβάνουμε ότι

${\tfrac {\mathrm {AB} ^{2}}{2}}+{\tfrac {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}{2}}=\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}},$

και τελικώς ότι

$\mathrm {A\Delta } ={\sqrt {{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}}-{\tfrac {\mathrm {AB} ^{2}}{2}}-{\tfrac {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}{2}}}}$.

Υπολογισμός εσωτερικής διχοτόμου

Για τον υπολογισμό του μήκους της εσωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι $\mathrm {B\Delta } ={\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}$ από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την σχέση Sterwart, λαμβάνουμε ότι

$\gamma ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}+\beta ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}=\alpha \cdot \left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\alpha ^{2}\beta \gamma }{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)$.

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε ότι

$\delta _{A}^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}=\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right).$

Υπολογισμός εξωτερικής διχοτόμου

Για τον υπολογισμό του μήκους της εξωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι $\mathrm {B\Delta } ={\tfrac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}$ από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την γενικευμένη σχέση Sterwart, λαμβάνουμε ότι

$\gamma ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}-\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot \alpha +\beta ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}+\alpha \cdot {\tfrac {\alpha ^{2}\beta \gamma }{(\beta +\gamma )^{2}}}=0$.

Αναδιατάσσοντας και απλοπλοιώντας, λαμβάνουμε ότι

$(\delta _{A}')^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right).$

Γενικεύσεις

Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος και αναδρομές στην ιστορία του θεωρήματος και των παραλλαγών του.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Θεώρημα Στιούαρτ Διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα και εφαρμογές.
• Απόδειξη με διανύσματα
• Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα Στιούαρτ

Ελληνικά άρθρα

• Φραγκουλόπουλος Γ.; Αντωνίου Δ. (1991). «Η "επέκταση" των Μετρικών Σχέσεων». Ευκλείδης Β΄ (2): 26-29. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Brown, Peter G. (Μαρτίου 2011). «Rays in a right triangle». The Mathematical Gazette 95 (532): 126–127. doi:10.1017/S0025557200002552. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2011-03_95_532/page/126. 
• Morris, Richard (1928). «Stewart's theorem with applications». The Mathematics Teacher 21 (8): 465-478. https://www.jstor.org/stable/27951072. 

Δείτε επίσης

• Πρώτο θεώρημα διαμέσων
• Νόμος των συνημιτόνων