Μοναδιαία βηματική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, η μοναδιαία βηματική συνάρτηση (ή συνάρτηση μοναδιαίου βήματος ή συνάρτηση Χέβισαϊντ) είναι η πραγματική συνάρτηση $H$ που ορίζεται ως εξής

Γραφική παράσταση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης.

Γραφική παράσταση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης με τον συμμετρικό ορισμό στο σημείο μηδέν.

$H(x)={\begin{cases}0&{\text{αν }}x<0\\1&{\text{αν }}x\geq 0.\end{cases}}$

Με άλλα λόγια η συνάρτηση επιστρέφει την τιμή $0$ για αρνητικούς αριθμούς και $1$ για θετικούς ή το μηδέν.

Η συνάρτηση παίρνει το όνομά της από τον Όλιβερ Χέβισαϊντ και βρίσκει εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών όπως οι διαφορικές εξισώσεις, η επεξεργασία σήματος και η θεωρία πιθανοτήτων.

Ορισμοί

Πιο γενικά, ορίζεται για κάθε $c\in \mathbb {R}$,

$H_{c}(x)={\begin{cases}0&{\text{αν }}x<c,\\1&{\text{αν }}x\geq c.\end{cases}}$

Καμιά φορά, για λόγους συμμετρίας η συνάρτηση ορίζεται ως

$H(x)={\begin{cases}0&{\text{αν }}x<0,\\{\tfrac {1}{2}}&{\text{αν }}x=0,\\1&{\text{αν }}x>0.\end{cases}}$

Με αυτόν τον ορισμό, η $H$ ικανοποιεί $H(x)={\tfrac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {sgn} (x)+1\right)$, όπου $\mathrm {sgn} (x)$ είναι η συνάρτηση προσήμου.