Αλγεβρικές ταυτότητες

Στα μαθηματικά, η ταυτότητα είναι μία σχέση η οποία είναι ταυτολογικά αληθής. Αυτό σημαίνει ότι για οποιοδήποτε αριθμό ή τιμή θέσουμε στους όρους της ταυτότητας, η απάντηση θα είναι η ίδια δηλαδή τα δύο μέρη της ισότητας θα παραμένουν ίσα. Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μια τυχαίας γωνίας θ προκύπτουν βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες που είναι χρήσιμες στο λογισμό με παραστάσεις που περιέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Τριγωνομετρική ταυτότητα

Ταξινόμηση
Dewey	512
MSC2010	26D05

Για να είμαστε συμβατοί με την διεθνή βιβλιογραφία θα συμβολίζουμε το ημίτονο (sine) με sin, το συνημίτονο (cosine) με cos, την εφαπτομένη (tangent) με tan και την συνεφαπτομένη με cot.

Πυθαγόρεια Ταυτότητα

Είναι η πλέον βασική τριγωνομετρική ταυτότητα :

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta \equiv 1\,$

η οποία αληθεύει για κάθε τιμή της γωνίας $\theta$. Η ταυτότητα αυτή είναι μία εκδοχή του Πυθαγορείου θεωρήματος, όταν η γωνία $\theta$ ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο του μοναδιαίου κύκλου και επαληθεύει την εξίσωση : $x^{2}+y^{2}=1$. Αυτή η ταυτότητα επιλύεται αντίστοιχα ως προς ημίτονο ή συνημίτονο :

$\sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\quad$ και $\quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\,$

Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Με χρήση των τριγωνομετρικών αριθμών του ημιτόνου (sine) και του συνημίτονου (cosine) ορίζουμε την εφαπτομένη (tangent) (tan) σε συνάρτηση του ημιτόνου και του συνημίτονου:

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.$

Εύκολα αποδεικνύεται η τριγωνομετρική ταυτότητα:

$\tan \theta \cdot \cot \theta =1$.