Απολύτως μη αναγώγιμο

Στα μαθηματικά, ένα πολυμεταβλητό πολυώνυμο που ορίζεται πάνω στους ρητούς αριθμούς είναι απολύτως μη αναγώγιμο αν είναι μη αναγώγιμο πάνω στο μιγαδικό πεδίο. Ενδεικτικά, το $x^{2}+y^{2}-1$ είναι απολύτως μη αναγώγιμο, αλλά ενώ το $x^{2}+y^{2}$ είναι μη αναγώγιμο στους ακεραίους και στους πραγματικούς, είναι αναγώγιμο, πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς ως $x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy),$ και επομένως όχι απολύτως μη αναγώγιμο.

Γενικότερα, ένα πολυώνυμο που ορίζεται πάνω σε ένα πεδίο K είναι απολύτως μη αναγώγιμο αν είναι μη αναγώγιμο πάνω σε οποιαδήποτε αλγεβρική επέκταση του K, και ένα affine αλγεβρικό σύνολο που ορίζεται από εξισώσεις με συντελεστές σε ένα πεδίο K είναι απολύτως μη αναγώγιμο αν δεν είναι η ένωση δύο αλγεβρικών συνόλων που ορίζονται από εξισώσεις σε μια αλγεβρικά κλειστή επέκταση του K. Με άλλα λόγια, ένα απολύτως μη αναγώγιμο αλγεβρικό σύνολο είναι συνώνυμο μιας αλγεβρικής ποικιλίας, που υπογραμμίζει ότι οι συντελεστές των εξισώσεων ορισμού μπορεί να μην ανήκουν σε ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο.

Το απόλυτο μη αναγώγιμο ισχύει επίσης, με την ίδια έννοια, για τις γραμμικές αναπαραστάσεις των αλγεβρικών ομάδων.

Σε όλες τις περιπτώσεις, το απολύτως μη αναγώγιμο είναι το ίδιο με το μη αναγώγιμο στο αλγεβρικό κλείσιμο του βασικού πεδίου.

Παραδείγματα

• Ένα μονοσήμαντο πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου με 2 δεν είναι ποτέ απολύτως μη αναγώγιμο, λόγω του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας.
• Το μη αναγώγιμο δισδιάστατο παραστατικό της συμμετρικής ομάδας S₃ τάξης 6, που αρχικά ορίστηκε πάνω στο πεδίο των ρητών αριθμών, είναι απολύτως μη αναγώγιμο.
• Η αναπαράσταση της ομάδας των κύκλων με περιστροφές στο επίπεδο είναι μη αναγώγιμη (πάνω στο πεδίο των πραγματικών αριθμών), αλλά όχι απολύτως μη αναγώγιμη. Μετά την επέκταση του πεδίου στους μιγαδικούς αριθμούς, διασπάται σε δύο μη αναγώγιμες συνιστώσες. Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού η ομάδα των κύκλων είναι αντιμεταθετική και είναι γνωστό ότι όλες οι μη αναγώγιμες απεικονίσεις αντιμεταθετικών ομάδων πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο είναι μονοδιάστατες.
• Η πραγματική αλγεβρική ποικιλία που ορίζεται από την εξίσωση

$x^{2}+y^{2}=1$

είναι απολύτως μη αναγώγιμη. Είναι ο συνηθισμένος κύκλος πάνω στους πραγματικούς και παραμένει μια μη αναγώγιμη κωνική τομή πάνω στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών. Η απόλυτη μη αναγωγιμότητα ισχύει γενικότερα σε οποιοδήποτε πεδίο που δεν είναι χαρακτηριστικό δύο. Στο χαρακτηριστικό δύο, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με (x + y −1)² = 0. Επομένως, ορίζει τη διπλή γραμμή x + y =1, η οποία είναι ένα μη αναγωγικό σχήμα.

• Η αλγεβρική ποικιλία που δίνεται από την εξίσωση

$x^{2}+y^{2}=0$

δεν είναι απολύτως μη αναγώγιμη. Πράγματι, η αριστερή πλευρά μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής

$x^{2}+y^{2}=(x+yi)(x-yi),$ όταν $i$ είναι τετραγωνική ρίζα του -1.

Συνεπώς, αυτή η αλγεβρική ποικιλία αποτελείται από δύο ευθείες που τέμνονται στην αρχή και δεν είναι απολύτως μη αναγώγιμη. Αυτό ισχύει είτε ήδη πάνω από το βασικό πεδίο, αν το -1 είναι τετράγωνο, είτε πάνω από την τετραγωνική επέκταση που προκύπτει από την προσάρτηση του i.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Absolute irreducibility of the binomial polynomials

Βιβλιογραφία

• Algebraic Curves Over Finite Fields
• Elliptic Curves, Hilbert Modular Forms and Galois Deformations
• "An Introduction to Finite Tight Frames"
• "Orthogonal Decompositions and Integral Lattices"
• "Continuation Techniques and Bifurcation Problems"