Άνοιγμα κυρίου μενού
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού μπορεί να θεωρηθεί η απόστασή του από το 0.

Η απόλυτη τιμή ή το απόλυτο ενός πραγματικού αριθμού είναι η τιμή του αριθμού χωρίς πρόσημο και δείχνει την απόσταση του αριθμού από το μηδέν ή το κέντρο των αξόνων (μιγαδικοί). Η έννοια της απόλυτης τιμής μπορεί να βρεθεί και σε άλλες μαθηματικές δομές όπως στους δακτύλιους ή στους μιγαδικούς αριθμούς.

ΟρολογίαΕπεξεργασία

Η έννοια "module" ως μονάδα μέτρησης στη γαλλική γλώσσα, αποδίδεται στον Jean-Robert Argand κυρίως για τους μιγαδικούς αριθμούς[1][2][3]. Η εισαγωγή του συμβολισμού |α| αποδίδεται στον Karl Weierstrass ο οποίος την πρωτοχρησιμοποίησε το 1841[4]. Άλλος, γνωστός κυρίως στην πληροφορική, συμβολισμός της απόλυτης τιμής ενός αριθμού a είναι ο abs(a).

Ορισμοί και ιδιότητεςΕπεξεργασία

Πραγματικοί αριθμοίΕπεξεργασία

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού α ή το απόλυτο α (το οποίο συμβολίζεται ως |α| δηλαδή ο αριθμός ανάμεσα σε δύο κατακόρυφες γραμμές) ορίζεται με τη συνάρτηση:

 

Καθώς η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ισχύει επίσης και το:

   

Επίσης ισχύει:

   
   

Απόσταση δύο αριθμώνΕπεξεργασία

 
Γεωμετρική αναπαράσταση απόστασης δύο αριθμών.

Αν πάρουμε δύο αριθμούς τους   η απόσταση μεταξύ τους είναι  . Το μέσο του τμήματος που ενώνει τους   είναι το σημείο  το οποίο απέχει την ίδια απόσταση από τα δύο σημεία  :  και τότε   αν  . To σημείο στην μέση ορίζεται ως   και αντιστοιχεί στο κέντρο του διαστήματος  . Ο αριθμός   λέγεται ακτίνα του διαστήματος  .

Με βάση αυτά έχω:   που γράφεται ως η απόσταση των δύο σημείων   δηλαδή   άρα  [5].

 
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού z είναι η απόσταση r του z από το κέντρο των συντεταγμένων.

Μιγαδικοί αριθμοίΕπεξεργασία

Δεδομένου ότι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών δεν είναι διατεταγμένο, ο ορισμός, μέσω συνάρτησης, για τους πραγματικούς αριθμούς δεν μπορεί άμεσα να γενικευθεί στους μιγαδικούς αριθμούς.

Καθώς όμως η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν , σύμφωνα με την πιο πάνω εξίσωση (1), μπορούμε να ορίσουμε την απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού

 

ως:

 

ΠαραπομπέςΕπεξεργασία

  1. Nahin
  2. O'Connor i Robertson
  3. functions.Wolfram.com
  4. Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, s. 25
  5. «Άλγεβρα (Α Γενικού Λυκείου - Γενικής Παιδείας): Ηλεκτρονικό Βιβλίο». ebooks.edu.gr. Ανακτήθηκε στις 15 Μαΐου 2017. 


Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Absolute value της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).