Άνοιγμα κυρίου μενού

Η αρχή της απροσδιοριστίας ή διαφορετικά αρχή της αβεβαιότητας είναι βασικό αξίωμα της κβαντικής μηχανικής που διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1927 από τον Βέρνερ Χάιζενμπεργκ (Werner Heisenberg, 1901 - 1976). Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας είναι αδύνατο να μετρηθεί ταυτόχρονα και με ακρίβεια, ούτε πρακτικά, ούτε και θεωρητικά η θέση και η ταχύτητα, ή ορμή, ενός σωματίου.
Εν αντιθέσει με την αρχή της αιτιοκρατίας, σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας υπάρχουν γεγονότα των οποίων η εκδήλωση δεν υπαγορεύεται από κάποια αιτία.

Η απροσδιοριστία αυτή δεν αναφέρεται στην ανικανότητα του ανθρώπου να παρατηρήσει ορισμένα φαινόμενα στον μικρόκοσμο αλλά σε μία πραγματική ιδιότητα του Φυσικού Κόσμου, η οποία εμφανίζεται και πειραματικά. Ο λόγος που δεν βλέπουμε αυτή την αβεβαιότητα στην καθημερινότητα είναι ότι εμφανίζεται σε πολύ μικρή κλίμακα και γίνεται κυρίως εμφανής στον μικρόκοσμο.

ΕκφράσειςΕπεξεργασία

Η βασική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας είναι αυτή του 1927:

Εάν μετράμε τη θέση ενός σωματίου με αβεβαιότητα   και ταυτόχρονα μετράμε την ορμή του με αβεβαιότητα  , τότε το γινόμενο των δύο μεγεθών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από έναν αριθμό της τάξης του  , όπου   (προφέρεται "h-bar") η ανηγμένη σταθερά του Πλανκ,  . Δηλαδή:

 

Οι αβεβαιότητες των μεγεθών θέσης και ορμής   και   ισούνται με τη διασπορά τους γύρω από τη μέση τους τιμή. Ο ίδιος ο Χάιζενμπεργκ εξήγησε ότι η ελάχιστη αβεβαιότητα στη μέτρηση των   και   δεν είναι πειραματικό σφάλμα, δεν οφείλεται δηλαδή στις ατέλειες των πειραματικών συσκευών, αλλά προκύπτει από τη δομή της ύλης καθεαυτήν. Πιο συγκεκριμένα, η σχέση αβεβαιότητας είναι άμεση συνέπεια του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης. Σε θεωρητικό επίπεδο, είναι αποτέλεσμα των μεταθετικών σχέσεων ανάμεσα στους κβαντομηχανικούς τελεστές θέσης και ορμής.

Η σχέση αβεβαιότητας ισχύει για μεγέθη που μετρούνται στον ίδιο άξονα, για παράδειγμα για το ζευγάρι  ,  . Όλα τα υπόλοιπα ζεύγη μεγεθών σε διαφορετικούς άξονες μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα με απόλυτη ακρίβεια.

Υπάρχουν και άλλες εκφράσεις της αρχής της απροδιοριστίας. Μια από αυτές είναι η εξής:

 

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει όριο στην ακρίβεια που μπορούμε να μετρήσουμε την ενέργεια   ενός συστήματος, αν το σύστημα παραμένει σε μια δεδομένη ενεργειακή κατάσταση για χρόνο  .

Θεμελιώδη αποτελέσματα για την απόδειξη των παραπάνω ανισοτήτων είναι αυτά του W. Heisenberg[1][2] σχετικά με τους μεταθέτες των τελεστών   (θέση   με τον συμβολισμό της αναλυτικής μηχανικής, ορμή) και   (ενέργεια και χρόνος):

 

και

 

Το θεώρημαΕπεξεργασία

Περιγραφή και απόδειξηΕπεξεργασία

Από μαθηματικής σκοπιάς η αρχή της απροσδιοριστίας ισοδυναμεί με ένα θεώρημα[3] για τους τελεστές.

Συγκεκριμένα έστω   και   αυτοσυζυγείς τελεστές (δηλαδή  ). Οι τελεστές στην κβαντομηχανική αντιστοιχούν στις φυσικές ποσότητες όπως η θέση, η ορμή, η ενέργεια, η στροφορμή μιας κατάστασης. Αν έχουμε μια κατάσταση   (ή επίσης γράφεται  ). Τότε η "μέση τιμή" του μεγέθους υπολογίζεται ως   (εσωτερικό γινόμενο της κατάστασης   με την κατάσταση  ) πράγμα που γράφεται πιο φυσικά ως  . Δηλαδή:

 

Τώρα ο τελεστής   έχει μέση τιμή μηδέν. Μπορούμε να ορίσουμε την αβεβαιότητα του   ως:

 

Μια άλλη χρήσιμη έννοια είναι ο μεταθέτης δύο τελεστών  , που γράφεται ως  . Από κβαντομηχανικής άποψης το   σημαίνει ότι πρώτα κάνουμε την μέτρηση του   και μετά του   ενώ   σημαίνει πρώτα του   και μετά του  . Δηλαδή η σειρά με την οποία γίνεται η μέτρηση ενός τελεστή επί μιας κατάστασης  , είναι αυτή με την οποία δρα ο τελεστής στην κατάσταση:  .
Μπορεί να δείξει κανείς πως το μέτρο της μέσης τιμής δύο τελεστών   σχετίζεται με τις μέσες τιμές των τελεστών   με την ακόλουθη σχέση:

 

Ακόμη, βάσει της παραπάνω σχέσης μπορεί να δείξει κανείς την ακόλουθη σχέση μεταξύ του μέτρου της μέσης τιμής ενός μεταθέτη   και της διασποράς του κάθε τελεστή:

 

Αυτό μας δίνει τον γενικό τύπο της αρχής της αβεβαιότητας

 

Εφαρμογή στην ανισότητα θέσης ορμήςΕπεξεργασία

Χρησιμοποιώντας το παραπάνω θεώρημα, και την μεταθετική σχέση   παίρνουμε:

 

Όμοια δείχνει κανείς και την ανισότητα μεταξύ στις αβεβαιότητες ενέργειας και χρόνου.

Λανθασμένη γενίκευσηΕπεξεργασία

Λανθασμένα πολλές φορές, γενικεύεται η αρχή της απροδιοριστίας σε φαινόμενα της καθημερινής ζωής, όπως και η θεωρία της σχετικότητας, στο σύνολο της ή σπανιότερα σε τμήματά της. Τόσο η αρχή της απροσδιοριστίας, όσο και η θεωρία της σχετικότητας, αναφέρονται σε φαινόμενα που συμβαίνουν σε σχετικά πολύ μικρά μήκη ή πολύ μεγάλες ταχύτητες, αντίστοιχα. Αυτό έχει ως συνέπεια η ισχύ τους να περιορίζεται κατά πολύ μεγάλο βαθμό στην κλασσική φυσική, η οποία και περιγράφει τα φαινόμενα που γίνονται αντιληπτά από εμάς καθημερινά. Ειδικότερα για την αρχή της απροσδιοριστίας, αυτό μπορεί να γίνει άμεσα αντιληπτό από την μαθηματική έκφρασή της: η σταθερά   έχει πολύ μικρή τιμή (1,054 572 66 × 10−34 ± 66 J·s) συγκρινόμενη με τις αποστάσεις και τις ταχύτητες που μπορούμε να μετρήσουμε πρακτικά έξω από το χώρο του εργαστηρίου.

ΒιβλιογραφίαΕπεξεργασία

Δείτε επίσηςΕπεξεργασία

ΠαραπομπέςΕπεξεργασία

Εξωτερικοί σύνδεσμοιΕπεξεργασία