Σύνοψη

ΠεριγραφήPeriodic points of f(z) = z*z-0.75 for period =6 as intersections of 2 implicit curves.svg	English: Periodic points of f(z) = z*z-0.75 for period =6 as intersections of 2 implicit curves "(which are related by the Cauchy-Riemann equations) separately. Their intersections give the complex roots of the original function. "[1]
Ημερομηνία	26 Δεκεμβρίου 2020
Πηγή	Έργο αυτού που το ανεβάζει
Δημιουργός	Adam majewski
άλλες εκδόσεις	period 4 period 3 MBD
SVG ανάπτυξη InfoField	Ο πηγαίος κώδικας αυτού του SVG είναι μη έγκυρος λόγω 3 σφαλμάτων.   W3C-invalid Αυτή η διανυσματική εικόνα δημιουργήθηκε με Gnuplot    This plot uses embedded text that can be easily translated using a text editor.

Αδειοδότηση

Εγώ, ο κάτοχος των πνευματικών δικαιωμάτων αυτού του έργου, το δημοσιεύω δια του παρόντος υπό την εξής άδεια χρήσης:

Το αρχείο διανέμεται υπό την άδεια Creative Commons Αναφορά προέλευσης-Παρόμοια διανομή 4.0 Διεθνής

Είστε ελεύθερος:

• να μοιραστείτε – να αντιγράψετε, διανέμετε και να μεταδώσετε το έργο
• να διασκευάσετε – να τροποποιήσετε το έργο

Υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

• αναφορά προέλευσης – Θα πρέπει να κάνετε κατάλληλη αναφορά, να παρέχετε σύνδεσμο για την άδεια και να επισημάνετε εάν έγιναν αλλαγές. Μπορείτε να το κάνετε με οποιοδήποτε αιτιολογήσιμο λόγο, χωρίς όμως να εννοείται με οποιονδήποτε τρόπο ότι εγκρίνουν εσάς ή τη χρήση του έργου από εσάς.
• παρόμοια διανομή – Εάν αλλάξετε, τροποποιήσετε ή δημιουργήσετε πάνω στο έργο αυτό, μπορείτε να διανείμετε αυτό που θα προκύψει μόνο υπό τους όρους της ίδιας ή συμβατής άδειας με το πρωτότυπο.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue

Maxima CAS src code

/*

find periodic points of f^n(z,c)
zn = z0


A useful way to visualize the roots of a complex function is to plot the 0 contours of the real and imaginary parts. That is, compute z = Dm(...) on a reasonably dense grid, and then use matplotlib's contour function to plot the contours where z.real is 0 and where z.imag is zero. The roots of the function are the points where these contours intersect.
Warren Weckesser

https://stackoverflow.com/questions/24419164/storing-roots-of-a-complex-function-in-an-array-in-scipy/24421779#24421779



*/

kill(all);
remvalue(all);
ratprint:false;
numer:true$
display2d:false$


declare (z, complex)$
declare ([x,y], real)$
z:x+y*%i;


/* -------------------functions --------------------------------------*/
f(z):= z*z+c$ /* complex quadratic polynomial */

/* iterated function */
fn(n, z) :=
  if n=0 
  	then z
  	else 	(if n=1 
  			then f(z)
  			else f(fn(n-1, z))
  		)$

/* for periodic points {z: zp=z0 }*/  
Fn(n,z) := fn(n, z) - z$
  
/* 
converts complex number z = x*y*%i 
to the list in a draw format:  
[x,y] 
*/
dr(z):=[float(realpart(z)), float(imagpart(z))]$

ToPoints(myList):= points(map(dr,myList))$
  
compile(all)$


/* constants */  
period :4$

c:-3/4$


/* ------------------ computations ---------------------------------------*/
zp:  Fn(period, z)$
e1: realpart(zp )=0$
e2: imagpart(zp )=0$

/* 
find periodic points using numerical method 
*/
polyfactor:false$ 
if ( period < 6) /* allroots fails for period >5 */
	then sol: allroots(%i*Fn(period, w))
	else ( /* increase precision of numerical computations */
		print("bfloat"),
		fpprec : 32, /*Default value: 16, it is the number of significant digits for arithmetic on bigfloat numbers */
		float2bf : true,
		sol: bfallroots(%i*Fn(period, bfloat(w) ))
		
		)$
		
sol: map(rhs,sol)$
intersections:ToPoints(sol)$



dSize : 2$ /* image size in world coordinate =  x, -dSize,dSize, y, -dSize,dSize), */
path:"~/Dokumenty/newton/2/"$ /*  pwd, if empty then file is in a home dir , path should end with "/" */

/* draw it using draw package ( Maxima-Gnuplot interface) by Mario Rodríguez Riotorto */
draw2d(
	file_name = sconcat(path, string(period)),
	terminal   = svg,
	dimensions = [1000,1000],
	/* the text */
  	color     = black,
  	font      = "Courier",
  	font_size = 20,
	title = sconcat("Periodic points f(z) = z*z-3/4 period = ", string(period), " as intersections of 2 implicit curves"),  
	user_preamble = "set key box opaque ", /* legend ovelaps the graph */
  	/* */
  	grid       = false,
  	xaxis = false,
  	yaxis = false,
  	xaxis_type  = solid,
  	yaxis_type  = solid,
  	xaxis_color = black,
  	yaxis_color = black,
  	proportional_axes = xy,
  
  	/* implicit curves */
  	ip_grid = [200, 200], /* precision and time of computations for implicit curves */
  	line_width = 1.5,
  	line_type = solid,
  	/* first curve */
  	key        = "re",
  	color = blue,
  	implicit(e1, x, -dSize,dSize, y, -dSize,dSize),
  	/* second curve */
  	color      = red,
  	key        = "im",
  	implicit(e2, x, -dSize,dSize, y, -dSize,dSize), 
  	/* points */
  	point_type= filled_circle,
  	point_size = 0.5,
  	color= black,
  	key = "periodic",
  	intersections 
  
   ) $

1. ↑ Weisstein, Eric W. "Root." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Root.html