Διαφορική εξίσωση πινάκων

Μια Διαφορική εξίσωση πινάκων είναι μια εξίσωση διαφοράς στην οποία η τιμή ενός διανύσματος (ή μερικές φορές, ενός πίνακα) μεταβλητών σε μια χρονική στιγμή σχετίζεται με τη δική του τιμή σε μια ή περισσότερες προηγούμενες χρονικές στιγμές, χρησιμοποιώντας πίνακες^[1]^[2]. Η τάξη της εξίσωσης είναι η μέγιστη χρονική διαφορά μεταξύ δύο ενδεικτικών τιμών του διανύσματος των μεταβλητών. Παραδείγματος χάριν,

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

είναι ένα παράδειγμα διαφορικής εξίσωσης πινάκων δεύτερης τάξης, στην οποία $x$ είναι ένα $n \times 1$ διάνυσμα μεταβλητών και $A$ και $B$ είναι $n \times n$ πίνακες. Αυτή η εξίσωση είναι ομογενής επειδή δεν υπάρχει διανυσματικός σταθερός όρος που να προστίθεται στο τέλος της εξίσωσης. Η ίδια εξίσωση μπορεί επίσης να γραφεί ως

\mathbf {x} _{t+2}=\mathbf {Ax} _{t+1}+\mathbf {Bx} _{t}

ή ως

\mathbf {x} _{n}=\mathbf {Ax} _{n-1}+\mathbf {Bx} _{n-2}

Οι πιο συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις πινάκων είναι πρώτης τάξης.

Μη ομοιογενής περίπτωση πρώτης τάξης και η σταθερή κατάσταση

Ένα παράδειγμα μη ομογενούς διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης είναι η εξής

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {b}

με προσθετικό σταθερό διάνυσμα $b$ . Η μόνιμη κατάσταση αυτού του συστήματος είναι μια τιμή $x *$ του διανύσματος $x$ η οποία, αν επιτευχθεί, δεν θα αποκλίνει από αυτήν στη συνέχεια. $x *$ βρίσκεται θέτοντας $x t = x t -1 = x *$ στην εξίσωση διαφορών και επιλύοντας για $x *$ ώστε να έχουμε

\mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b}

όπου $' I$ είναι το n × n πίνακας ταυτότητας, και όπου υποτίθεται ότι $[I' - A]$ είναι αντιστρέψιμος. Τότε η μη ομογενής εξίσωση μπορεί να ξαναγραφεί σε ομογενή μορφή ως προς τις αποκλίσεις από τη μόνιμη κατάσταση:

\left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]

Σταθερότητα στην περίπτωση πρώτης τάξεως

Η εξίσωση διαφορών πίνακα πρώτης τάξης $[x t - x *] = A [x t -1 - x *]$ είναι ευσταθής - δηλαδή η $x t$ συγκλίνει ασυμπτωτικά στη σταθερή κατάσταση $x *$ — - εάν και μόνο εάν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα μετάβασης $A$ (πραγματικές ή μιγαδικές) έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη από 1.

Λύση της περίπτωσης πρώτης τάξης

Ας υποθέσουµε ότι η εξίσωση έχει τεθεί στην οµογενή µορφή $y t = Ay t -1$ . Τότε μπορούμε να επαναλαμβάνουμε και να αντικαθιστούμε επανειλημμένα από την αρχική συνθήκη $y 0$ , η οποία είναι η αρχική τιμή του διανύσματος $y$ και η οποία πρέπει να είναι γνωστή για να βρούμε τη λύση:

{\begin{aligned}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {Ay} _{0}\\\mathbf {y} _{2}&=\mathbf {Ay} _{1}=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {Ay} _{2}=\mathbf {A} ^{3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}

και ούτω καθεξής, έτσι ώστε με επαγωγή η λύση ως προς $t$ είναι

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} _{0}

Επιπλέον, αν το $A$ είναι διαγωνοποιήσιμο, μπορούμε να ξαναγράψουμε το $A$ ως προς τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματά του, δίνοντας τη λύση ως εξής

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {PD} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},

και ούτω καθεξής, έτσι ώστε με μαθηματική επαγωγή η λύση ως προς $t$ είναι

Επιπλέον, αν το $A$ είναι διαγωνοποιήσιμο, μπορούμε να ξαναγράψουμε το $A$ ως προς τις ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του, δίνοντας τη λύση ως εξής

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {PD} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},

όπου $P$ είναι ένας πίνακας $n \times n$ του οποίου οι στήλες είναι τα ιδιοδιανύσματα του $A$ (υποθέτοντας ότι οι ιδιοτιμές είναι όλες διακριτές) και $D$ είναι ένας διαγώνιος πίνακας $n \times n$ του οποίου τα διαγώνια στοιχεία είναι οι ιδιοτιμές του $A$ . Αυτή η λύση αιτιολογεί το παραπάνω αποτέλεσμα ευστάθειας: Ο $A t$ συρρικνώνεται στον μηδενικό πίνακα με την πάροδο του χρόνου εάν και μόνο εάν οι ιδιοτιμές του $A$ είναι όλες μικρότερες της μονάδας σε απόλυτη τιμή.

Εξαγωγή της δυναμικής μιας μεμονωμένης κλιμακωτής μεταβλητής από ένα σύστημα πινάκων πρώτης τάξης

Ξεκινώντας από το $n$ -διάστατο σύστημα $y t = Ay t -1$ , μπορούμε να εξάγουμε τη δυναμική μιας από τις μεταβλητές κατάστασης, ας πούμε $y 1$ . Η παραπάνω εξίσωση λύσης για την $y t$ δείχνει ότι η λύση για την $y 1, t$ είναι σε όρους των $n$ ιδιοτιμών του $A$ . Επομένως, η εξίσωση που περιγράφει την εξέλιξη της $y 1$ από μόνη της πρέπει να έχει μια λύση που να περιλαμβάνει τις ίδιες ιδιοτιμές. Αυτή η περιγραφή υποκινεί διαισθητικά την εξίσωση της εξέλιξης του $y 1$ , η οποία είναι

y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}+\dots +a_{n}y_{1,t-n}

όπου οι παράμετροι $a i$ προέρχονται από τη χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα $A$ :

\lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a_{n}\lambda ^{0}=0.

Έτσι, κάθε μεμονωμένη κλιμακωτή μεταβλητή ενός $n$ -διάστατου γραμμικού συστήματος πρώτης τάξης εξελίσσεται σύμφωνα με μια μονοσήμαντη $n$ εξίσωση διαφορών δευτέρου βαθμού, η οποία έχει την ίδια ιδιότητα ευστάθειας (σταθερή ή ασταθής) με την διαφορική εξίσωση πινάκων.

Λύση και σταθερότητα περιπτώσεων υψηλότερης τάξης

Οι εξισώσεις διαφορών πινάκων υψηλότερης τάξης, δηλαδή με χρονική υστέρηση μεγαλύτερη από μία περίοδο, μπορούν να επιλυθούν και να αναλυθεί η ευστάθειά τους, μετατρέποντάς τες σε μορφή πρώτης τάξης με τη χρήση ενός block matrix (σύνθετου πίνακα). Παραδείγματος χάριν, ας υποθέσουμε ότι έχουμε την εξίσωση δεύτερης τάξης.

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

με το μεταβλητό διάνυσμα $x$ να είναι $n \times 1$ και $A$ και $B$ να είναι $n \times n$ . Αυτό μπορεί να στοιβαχτεί στη μορφή

{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf {x} _{t-2}\end{bmatrix}}

όπου $I$ είναι ο πίνακας ταυτότητας $n \times n$ και $0$ είναι ο μηδενικός πίνακας $n \times n$ . Στη συνέχεια, συμβολίζοντας το $2 n \times 1$ στοιβαγμένο διάνυσμα των τρεχουσών και των μεταβλητών με μια φορά υστέρηση ως $z t$ και τον σύνθετο πίνακα $2 n \times 2 n$ ως $L$ , έχουμε όπως και πριν τη λύση

\mathbf {z} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} _{0}

Επίσης, όπως και προηγουμένως, αυτή η στοιβαγμένη εξίσωση, και συνεπώς η αρχική εξίσωση δεύτερης τάξης, είναι ευσταθής εάν και μόνο εάν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα $L$ είναι μικρότερες από τη μονάδα σε απόλυτη τιμή.

Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πινάκων: εξισώσεις Ρικάτι

Στον γραμμικό-τετραγωνικό-Γκαουσιανό έλεγχο, προκύπτει μια μη διαφορική εξίσωση πινάκων για την αντίστροφη εξέλιξη ενός πίνακα τρέχοντος και μελλοντικού κόστους, που συμβολίζεται κατωτέρω ως $H$ . Η εξίσωση αυτή ονομάζεται διακριτή δυναμική εξίσωση Ρικάτι και προκύπτει όταν ένα μεταβλητό διάνυσμα που εξελίσσεται σύμφωνα με μια γραμμική διαφορική εξίσωση πινάκων ελέγχεται με το χειρισμό ενός εξωγενούς διανύσματος προκειμένου να βελτιστοποιηθεί μια τετραγωνική συνάρτηση κόστους. Αυτή η εξίσωση Ρικάτι παίρνει την ακόλουθη, ή παρόμοια, μορφή:

\mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A}

όπου $H$ , $K$ , και $A$ είναι $n \times n$ , $C$ είναι $n \times k$ , $R$ είναι $k \times k$ , $n$ είναι ο αριθμός των στοιχείων του διανύσματος προς έλεγχο και $k$ είναι ο αριθμός των στοιχείων του διανύσματος ελέγχου. Οι πίνακες παραμέτρων $A$ και $C$ προέρχονται από τη γραμμική εξίσωση, και οι πίνακες παραμέτρων $K$ και $R$ προέρχονται από την τετραγωνική συνάρτηση κόστους. Δείτε το Πλαίσιο της εδώ για λεπτομέρειες.

Κατά κανόνα, η εξίσωση αυτή δεν μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά για το $H t$ ως προς το $t$ . Αντίθετα, η ακολουθία των τιμών για το $H t$ βρίσκεται με επανάληψη της εξίσωσης Ρικάτι. Ωστόσο, έχει αποδειχθεί^[3] ότι αυτή η εξίσωση Ρικάτι μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά εάν $R = 0$ και $n = k + 1$ , ανάγοντάς την σε μια εξίσωση κλιμακωτών ρητών διαφορών- επιπλέον, για οποιοδήποτε $k$ και $n$ εάν ο πίνακας μετάβασης $A$ είναι μη-ιδιάζων, τότε η εξίσωση Ρικάτι μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά ως προς τις ιδιοτιμές ενός πίνακα, αν και αυτές μπορεί να χρειαστεί να βρεθούν αριθμητικά^[4].

Στις περισσότερες περιπτώσεις η εξέλιξη του $H$ προς τα πίσω στο χρόνο είναι σταθερή, πράγμα που σημαίνει ότι ο $H$ συγκλίνει σε έναν συγκεκριμένο σταθερό πίνακα $H *$ , ο οποίος μπορεί να είναι μη ρητός ακόμη και αν όλοι οι άλλοι πίνακες είναι ρητοί.

Μια σχετική εξίσωση Ρικάτι είναι η εξής^[5]

\mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}

στην οποία οι πίνακες $X, A, B, C, E$ είναι όλοι $n \times n$ . Η εξίσωση αυτή μπορεί να επιλυθεί ρητά. Ας υποθέσουμε ότι $\mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1},$ το οποίο βεβαίως ισχύει για t $t = 0$ με $N 0 = X 0$ και με $D 0 = I$ . Τότε χρησιμοποιώντας αυτό στην εξίσωση διαφορών προκύπτει

{\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}

οπότε με επαγωγή ισχύει η μορφή $\mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}$ για όλα τα $t$ . Τότε η εξέλιξη των $N$ και $D$ μπορεί να γραφεί ως εξής

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t+1}\\\mathbf {D} _{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}

Συνεπώς, με επαγωγή

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{0}\\\mathbf {D} _{0}\end{bmatrix}}

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375
Golub, Gene F.; van der Vorst, Henk A. (2000), «Eigenvalue Computation in the 20th Century», Journal of Computational and Applied Mathematics 123 (1–2): 35–65, doi:10.1016/S0377-0427(00)00413-1, https://dspace.library.uu.nl/bitstream/1874/2663/1/eighistory.pdf
Hill, Roger (2009). «λ – Eigenvalues». Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.
Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 (ISBN 978-0-471-43331-6).
Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). (ISBN 0-691-02795-1).
Kuttler, Kenneth (2017), An introduction to linear algebra, Brigham Young University, https://math.byu.edu/~klkuttle/Linearalgebra.pdf

Παραπομπές

↑ Cull, Paul· Flahive, Mary· Robson, Robbie (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos. Springer. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6.
↑ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd έκδοση). McGraw-Hill. σελίδες 608–612. ISBN 9780070107809.
↑ Balvers, Ronald J.; Mitchell, Douglas W. (2007). «Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems». Journal of Economic Dynamics and Control 31 (1): 141–159. doi:10.1016/j.jedc.2005.09.013. https://papers.tinbergen.nl/01043.pdf.
↑ Vaughan, D. R. (1970). «A nonrecursive algebraic solution for the discrete Riccati equation». IEEE Transactions on Automatic Control 15 (5): 597–599. doi:10.1109/TAC.1970.1099549.
↑ Martin, C. F.· Ammar, G. (1991). «The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method». Στο: Bittani· Laub· Willems. The Riccati Equation. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN 978-3-642-63508-3.

[1] Cull, Paul· Flahive, Mary· Robson, Robbie (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos. Springer. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6.

[2] Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd έκδοση). McGraw-Hill. σελίδες 608–612. ISBN 9780070107809.

[3] Balvers, Ronald J.; Mitchell, Douglas W. (2007). «Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems». Journal of Economic Dynamics and Control 31 (1): 141–159. doi:10.1016/j.jedc.2005.09.013. https://papers.tinbergen.nl/01043.pdf.

[4] Vaughan, D. R. (1970). «A nonrecursive algebraic solution for the discrete Riccati equation». IEEE Transactions on Automatic Control 15 (5): 597–599. doi:10.1109/TAC.1970.1099549.

[5] Martin, C. F.· Ammar, G. (1991). «The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method». Στο: Bittani· Laub· Willems. The Riccati Equation. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN 978-3-642-63508-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]