Ακολουθία: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 1:
Στα [[Μαθηματικά|μαθηματικά]], μια '''ακολουθία''' είναι μια ''λίστα'' αντικειμένων στην οποία έχει σημασία η ''σειρά'' των αντικειμένων αυτών. Μια ακολουθία έχει '''όρους''' και το πλήθος των όρων της (που ενδέχεται να είναι και άπειρο) ονομάζεται '''μήκος''' της ακολουθίας. Σε αντίθεση από τα [[Σύνολο|σύνολα]] σε μια ακολουθία έχει σημασία η σειρά που έχει κάθε αντικείμενο της. Επιπλέον δεν υπάρχει περιορισμός όσο αφορά το πόσες φορές μπορεί να εμφανίζεται ένα αντικείμενο μιας ακολουθίας (σε αντίθεση και πάλι από τα σύνολα όπου ένα αντικείμενο μπορεί να εμφανίζεται το πολύ μια φορά).
Ονομάζουμε '''ακολουθία''' ή πιο συγκεκριμένα '''άπειρη ακολουθία''' οποιαδήποτε συνάρτηση α από το σύνολο των φυσικών <math> \mathbb{N} </math> σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση:▼
Οι ακολουθίες διακρίνονται ως προς το πλήθος των όρων τους, στις '''άπειρες ακολουθίες''' και στις '''πεπερασμένες'''. Σχεδόν αποκλειστικά, στην [[Μαθηματική ανάλυση|μαθηματική ανάλυση]] ενδιαφέρον έχουν οι πρώτες.
==Αυστηρός Ορισμός==
▲Ονομάζουμε '''ακολουθία''' ή πιο συγκεκριμένα '''άπειρη ακολουθία''' οποιαδήποτε συνάρτηση α από το σύνολο των φυσικών <math> \mathbb{N} </math> σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής:
: <math> a: \mathbb{N} \rightarrow A </math>
Συνηθίζεται
Ονομάζουμε '''πεπερασμένη ακολουθία''' ή '''λίστα ν στοιχείων''' οποιαδήποτε [[συνάρτηση]] α από ένα σύνολο των φυσικών <math> \mathbb{N}_\nu </math> σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση:▼
: <math> a: \mathbb{N}_\nu \rightarrow A </math>▼
▲Ονομάζουμε '''πεπερασμένη ακολουθία''' ή '''λίστα
Όλες οι ακολουθίες ως συναρτήσεις είναι σύνολα διατεταγμένων ζευγών. Παρόλα αυτά μια πεπερασμένη ακολουθία μπορούμε να την αντιμετωπίζουμε ως διατεταγμένη
==Όριο Ακολουθίας==
{{Κύριο|Όριο ακολουθίας}}
Θεωρούμε την ακολουθία:
:<math>a_n = \frac{1}{n}</math>
με όρους:
:<math>a_1 = 1, ..., a_{10}=\frac{1}{10}, ..., a_{100}=\frac{1}{100}, ... , a_{1000}=\frac{1}{1000} ...</math>
Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι οι όροι της ακολουθίας ''πλησιάζουν'' ολοένα και περισσότερο το 0 καθώς ο δείκτης της n αυξάνεται. Για τη συγκεκριμένη ακολουθία μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι για καμιά τιμή του n δεν θα υπάρξει όρος (ίσος ή) μικρότερος του μηδενός. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι η ακολουθία μας δεν μπορεί να ''ξεπεράσει'' το μηδέν, με άλλα λόγια ότι έχει ''όριο'' τον αριθμό 0.
Ένας άτυπος ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ο εξής: μια ακολουθία λέμε ότι έχει ''όριο'' ή ότι ''συγκλίνει σε ένα αριθμό L, όταν οι όροι της πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό αυτό καθώς ο δείκτης της αυξάνεται απεριόριστα.
Ο αυστηρός ορισμός της σύκλισης μιας ακολουθίας (a<sub>n</sub>) σε πραγματικό αριθμό είναι ο εξής: λέμε ότι '''ο αριθμός L είναι όριο της ακολουθίας''' <math>(a_n)</math> αν για κάθε ε > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμός n<sub>0</sub> τέτοιος, ώστε για κάθε n>n<sub>0</sub> να ισχύει:
▲Συνηθίζεται να συμβολίζουμε μια ακολουθία με: <math>(a_k)_{k = 1}^{+\infty}</math> ή με <math>\{a_k\}_{k = 1}^{+\infty}</math> και μια πεπερασμένη ακολουθία με τα σύμβολα: <math>(a_k)_{k = 1}^{\nu}</math> ή με <math>\{a_k\}_{k = 1}^{\nu}</math>. Επίσης συνηθίζεται να συμβολίζουμε την τιμή μιας ακολουθίας, για κάθε στοιχείο <math> k \in \mathbb{N} </math> ή <math> k \in \mathbb{N}_\nu </math> αντίστοιχα, με <math> a_k </math> αντί με <math> a(k) </math> όπως συνηθίζεται γενικά για τις συναρτήσεις. Διευκρινίζεται ότι αν το σύνολο Α είναι ίσο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών τότε η ακολουθία ονομάζεται '''πραγματική ακολουθία'''.
: <math>|a_n - L| < \epsilon</math>
και το συμβολίζουμε με:
:<math>\lim_{n \to \infty}a_n = L </math>
Φυσικά είναι δυνατόν μια ακολουθία να μην συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Μπορεί για παράδειγμα να αποκλίνει στο <math>+\infty</math> ή στο <math>-\infty</math> ή ακόμα να μην έχει όριο καθόλου. Αν όμως μια ακολουθία έχει όριο είτε πραγματικό αριθμό είτε άπειρο, τότε αποδεικνύεται ότι αυτό είναι μοναδικό.
▲Όλες οι ακολουθίες ως συναρτήσεις είναι σύνολα διατεταγμένων ζευγών. Παρόλα αυτά μια πεπερασμένη ακολουθία μπορούμε να την αντιμετωπίζουμε ως διατεταγμένη ν-άδα για ευκολία και επομένως μπορούμε να τη συμβολίσουμε με <math> (a_1, a_2, ... a_\nu) </math>. Παρόμοια, για μια άπειρη ακολουθία μπορούμε να χρησιμοποιούμε το συμβολισμό <math> (a_1, a_2, ... ) </math>.
{{Μαθηματικά-επέκταση}}
| |||