Επεξεργασία σήματος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Ρομπότ: Προσθήκη: id:Pengolahan sinyal |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 1:
[[Εικόνα:Sampled.signal.svg|thumb|270px|''Δειγματοληψία και ψηφιοποίηση αναλογικού σήματος'']]
Ως '''επεξεργασία σήματος''' ορίζουμε την ανάλυση και
== Ιστορικό ==
== Σήματα και συστήματα ==
Ως '''σήμα''' ορίζουμε τις τιμές που λαμβάνει μία ποσότητα '''y''' (εξαρτημένη [[μεταβλητή]]) η οποία μεταβάλλεται συναρτήσει μίας άλλης ποσότητας '''x''' (ανεξάρτητη μεταβλητή). Αν οι ποσότητες x και y λαμβάνουν συνεχείς τιμές (π.χ. από το κλειστό [[πραγματικοί αριθμοί|πραγματικό διάστημα]] [0,+100]) τότε το σήμα είναι μία συνάρτηση '''y(x)''' και χαρακτηρίζεται αναλογικό. Αν η ποσότητα y λαμβάνει συνεχείς τιμές αλλά η ποσότητα x μόνο διακριτές τιμές (π.χ. από το σύνολο Ν των [[φυσικοί αριθμοί|φυσικών αριθμών]]) τότε το σήμα λέγεται διακριτού χρόνου και πρόκειται για μία [[ακολουθία]] y[n], ενώ αν τα x και y λαμβάνουν διακριτές τιμές έχουμε πάλι ακολουθία y[n] και το σήμα λέγεται ψηφιακό.
Ορισμένα παραδείγματα:
Γραμμή 11 ⟶ 12 :
*Οι τιμές λαμπρότητας κάθε [[πίξελ]] σε μία ασπρόμαυρη ψηφιακή εικόνα είναι ''ψηφιακό σήμα'', με [[πεδίο τιμών]] π.χ. 1-256 (αν για κάθε πίξελ αποθηκεύεται ένα [[byte]]) και [[πεδίο ορισμού]] το σύνολο φυσικών 1-Μ*Ν, όπου ΜxΝ η ανάλυση της εικόνας.
Σύστημα είναι οτιδήποτε δέχεται ως [[είσοδος|είσοδο]] ένα σήμα και παράγει ως [[έξοδος|έξοδο]] ένα άλλο σήμα. Μαθηματικά είναι ένας μετασχηματισμός που αντιστοιχίζει σε μία συνάρτηση y(x) ή σε μία ακολουθία y[n] κάποια άλλη συνάρτηση y'(x) ή ακολουθία y'[n]. Τα συστήματα διακρίνονται επίσης σε αναλογικά, διακριτού χρόνου και ψηφιακά, ανάλογα με τους τύπους σημάτων που δέχονται ως είσοδο και παράγουν ως έξοδο, ενώ υπάρχουν και υβριδικά. Π.χ. σύστημα είναι μία [[υπορουτίνα]] κάποιου [[πρόγραμμα υπολογιστή|προγράμματος]] επεξεργασίας εικόνας σε υπολογιστή, ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που δέχεται μία τάση στα άκρα του και παράγει τάση σε έναν πυκνωτή ή ένα διαστημόπλοιο στο οποίο ασκούνται δυνάμεις (σήμα εισόδου) και αυτό ακολουθεί ανάλογη τροχιά (σήμα εξόδου). Τα σήματα και τα συστήματα είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος καθώς μπορούμε να φερθούμε σε ένα σήμα ως έξοδο κάποιου γνωστού συστήματος ή να χαρακτηρίσουμε πλήρως ένα σύστημα μελετώντας την
Τα συστήματα χωρίζονται σε κατηγορίες με βάση διάφορα κριτήρια:
*''Γραμμικά'' συστήματα και ''μη γραμμικά'' συστήματα, όπου στα γραμμικά η έξοδος ενός [[γραμμικός συνδυασμός|γραμμικού συνδυασμού]] επιμέρους εισόδων ισούται με
*''Χρονικά αμετάβλητα'' και ''χρονικά μεταβλητά'', όπου στα χρονικά αμετάβλητα η μόνη επίπτωση μίας ολίσθησης προς τα δεξιά της εισόδου είναι μία ίδια ολίσθηση της εξόδου (αν F(x(t)) = y(t), τότε F(x(t+s)) = y(t+s))
*''Στατικά'' και ''δυναμικά'' (ή με μνήμη) συστήματα, όπου στα στατικά η έξοδος σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της εξαρτάται μόνο από την τιμή της εισόδου στο ίδιο σημείο, ενώ στα δυναμικά εξαρτάται και από άλλες τιμές της εισόδου.
**Τα δυναμικά συστήματα υποδιαιρούνται σε ''αιτιατά'', όπου η έξοδος σε κάθε σημείο επηρεάζεται μόνο από την τρέχουσα και από προηγούμενες τιμές της εισόδου, και σε ''μη αιτιατά'', όπου η έξοδος σε κάθε σημείο επηρεάζεται επιπλέον και από μελλοντικές τιμές της εισόδου.
Η γραμμικότητα ενός συστήματος συνεπάγεται ότι δύο διαφορετικά σήματα μπορούν να διέλθουν μέσα από το σύστημα χωρίς να επηρεάζουν το ένα το άλλο (στην ολική έξοδο συμμετέχουν οι έξοδοι των επιμέρους σημάτων υπολογισμένες σαν τα τελευταία να
== Χειρισμός σημάτων ==
Τα πιο ενδιαφέροντα συστήματα είναι τα γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ), τα οποία ευτυχώς μοντελοποιούν ευρύ πλήθος πραγματικών συστημάτων. Η καρδιά της επεξεργασίας σήματος είναι η έννοια της [[υπέρθεση|υπέρθεσης]] που ισχύει στα ΓΧΑ συστήματα. Ο μόνος τρόπος να συνδυαστούν διαφορετικά σήματα σε ένα κοινό, σύνθετο σήμα είναι (λόγω της γραμμικότητας) με πρόσθεση των επιμέρους σημάτων, όπου το κάθε σήμα όμως μπορεί να είναι πολλαπλασιασμένο επί μία σταθερά. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται ''σύνθεση'' και το τελικό σήμα λέγεται υπέρθεση των αρχικών. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται ''αποσύνθεση'', όπου ξεκινώντας από μία υπέρθεση καταλήγουμε σε επιμέρους σήματα. Έστω λοιπόν ένα ΓΧΑ σύστημα, ένα σήμα εισόδου x(t) και ένα σήμα εξόδου y(t). Αν αποσυνθέσουμε το σήμα εισόδου σε επιμέρους σήματα, περάσουμε το καθένα από αυτά μέσα από το σύστημα και προσθέσουμε τις επιμέρους εξόδους, το τελικό αποτέλεσμα ισούται με το σήμα εξόδου y(t). Αυτή η διαδικασία βρίσκεται στο επίκεντρο της επεξεργασίας σήματος καθώς απλοποιεί κατά πολύ την εύρεση της εξόδου ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο.▼
[[Εικόνα:Impulse.png|thumb|left|270px|''Η κρουστική απόκριση ενός συστήματος σε τρεις εκδοχές: μία κανονική, μία με ενισχυμένες τις υψηλές τις συχνότητες και μία με ενισχυμένες τις χαμηλές της συχνότητες'']]
Δύο τρόποι αποσύνθεσης είναι ευρέως διαδεδομένοι: η ''κρουστική αποσύνθεση'' και η ''αποσύνθεση Φουριέ''. Στην κρουστική αποσύνθεση διασπούμε το σήμα σε ελάχιστης διάρκειας (απειροελάχιστες και άπειρες σε πλήθος για αναλογικά σήματα) "ωθήσεις", δηλαδή στιγμιαία σήματα που το καθένα βρίσκεται σε διαφορετικό σημείο του πεδίου ορισμού και έχει το πλάτος του ολικού σήματος στο σημείο εκείνο. Για την ακρίβεια στα αναλογικά σήματα η ώθηση υποτίθεται πως έχει άπειρο πλάτος αλλά εμβαδόν της περιοχής που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα ίσο με το ζητούμενο πλάτος (καμία πραγματική συνάρτηση δεν καλύπτεται από αυτές τις ιδιότητες, μα η ώθηση είναι
Οι ενδιαφέρουσες περιπτώσεις είναι τα δυναμικά ΓΧΑ συστήματα στα οποία μπορούμε, αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση h(t), να βρούμε την έξοδο του συστήματος για κάθε πιθανή είσοδο x(t) με τον εξής τρόπο: εκτελούμε κρουστική αποσύνθεση του σήματος εισόδου και, για κάθε ώθηση που προκύπτει, προσμετρούμε στην έξοδο την αντίστοιχη απόκριση του συστήματος (η οποία είναι αh(t-t<sub>0</sub>) για είσοδο αδ(t-t<sub>0</sub>) λόγω γραμμικότητας και χρονικής ανεξαρτησίας). Κάθε σημείο της εξόδου επηρεάζεται από πολλά σημεία της εισόδου λόγω της μνήμης του συστήματος (π.χ. αν η κρουστική απόκριση είναι μη μηδενική στο διάστημα [0,5] του πεδίου ορισμού της, τότε μία ώθηση στο σημείο t<sub>0</sub> της εισόδου συμβάλλει στο σχηματισμό της εξόδου σε όλο το διάστημα [t<sub>0</sub>,t<sub>0</sub>+5] του πεδίου ορισμού της) αλλά όλη η διαδικασία του, φαινομενικά περίπλοκου, υπολογισμού μπορεί να μοντελοποιηθεί τέλεια από τη μαθηματική πράξη της [[συνέλιξη|συνέλιξης]] μεταξύ των δύο συναρτήσεων x(t) και h(t). Η εν λόγω συνέλιξη, με κατάλληλη [[ολοκλήρωμα|ολοκλήρωση]], δίνει ως αποτέλεσμα μία νέα συνάρτηση y(t) η οποία στην περίπτωση αυτή είναι η έξοδος του συστήματος (y(t) = x(t)*h(t)). Η κρουστική απόκριση συνήθως μετράται με εμπειρικά μέσα και
▲Τα πιο ενδιαφέροντα συστήματα είναι τα γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ), τα οποία ευτυχώς μοντελοποιούν ευρύ πλήθος πραγματικών συστημάτων. Η καρδιά της επεξεργασίας σήματος είναι η έννοια της [[υπέρθεση|υπέρθεσης]] που ισχύει στα ΓΧΑ συστήματα. Ο μόνος τρόπος να συνδυαστούν διαφορετικά σήματα σε ένα κοινό, σύνθετο σήμα είναι (λόγω της γραμμικότητας) με πρόσθεση των επιμέρους σημάτων όπου το κάθε σήμα όμως μπορεί να είναι πολλαπλασιασμένο επί μία σταθερά. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται ''σύνθεση'' και το τελικό σήμα λέγεται υπέρθεση των αρχικών. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται ''αποσύνθεση'', όπου ξεκινώντας από μία υπέρθεση καταλήγουμε σε επιμέρους σήματα. Έστω λοιπόν ένα ΓΧΑ σύστημα, ένα σήμα εισόδου x(t) και ένα σήμα εξόδου y(t). Αν αποσυνθέσουμε το σήμα εισόδου σε επιμέρους σήματα, περάσουμε το καθένα από αυτά μέσα από το σύστημα και προσθέσουμε τις επιμέρους εξόδους, το τελικό αποτέλεσμα ισούται με το σήμα εξόδου y(t). Αυτή η διαδικασία βρίσκεται στο επίκεντρο της επεξεργασίας σήματος καθώς απλοποιεί κατά πολύ την εύρεση της εξόδου ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο.
Μία εναλλακτική μέθοδος αποσύνθεσης όπως προαναφέρθηκε είναι η αποσύνθεση Φουριέ, με την οποία αναλύουμε ένα οποιοδήποτε περιοδικό σήμα σε άθροισμα απείρων ημιτόνων, όλων των δυνατών συχνοτήτων, τα οποία σχηματίζουν αθροιζόμενα το ολικό αρχικό σήμα. Κάθε ένα από αυτά τα ημίτονα συμμετέχει με διαφορετικό πλάτος στο ολικό σήμα και ο μαθηματικός [[μετασχηματισμός Φουριέ]] μας λέει κατά πόσο συμμετέχει κάθε πιθανή συχνότητα
▲Στην κρουστική αποσύνθεση διασπούμε το σήμα σε ελάχιστης διάρκειας (απειροελάχιστες και άπειρες σε πλήθος για αναλογικά σήματα) "ωθήσεις", δηλαδή στιγμιαία σήματα που το καθένα βρίσκεται σε διαφορετικό σημείο του πεδίου ορισμού και έχει το πλάτος του ολικού σήματος στο σημείο εκείνο. Για την ακρίβεια στα αναλογικά σήματα η ώθηση υποτίθεται πως έχει άπειρο πλάτος αλλά εμβαδόν της περιοχής που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα ίσο με το ζητούμενο πλάτος (καμία πραγματική συνάρτηση δεν καλύπτεται από αυτές τις ιδιότητες μα η ώθηση είναι ειδική περίπτωση). Μία κανονικοποιημένη ώθηση, με εμβαδόν περιοχής ίσο με τη μονάδα, περιγράφεται μαθηματικά από την κρουστική συνάρτηση δ(t). Η έξοδος του υπό μελέτη συστήματος όταν του δοθεί ως είσοδος η δ(t) ονομάζεται κρουστική απόκριση και χαρακτηρίζει πλήρως ένα σύστημα. Αν η κρουστική απόκριση είναι επίσης ώθηση, δηλαδή στιγμιαίας διάρκειας, τότε το σύστημα είναι στατικό (χωρίς [[μνήμη]]), διαφορετικά είναι δυναμικό.
▲Οι ενδιαφέρουσες περιπτώσεις είναι τα δυναμικά ΓΧΑ συστήματα στα οποία μπορούμε, αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση h(t), να βρούμε την έξοδο του συστήματος για κάθε πιθανή είσοδο x(t) με τον εξής τρόπο: εκτελούμε κρουστική αποσύνθεση του σήματος εισόδου και, για κάθε ώθηση που προκύπτει, προσμετρούμε στην έξοδο την αντίστοιχη απόκριση του συστήματος (η οποία είναι αh(t-t<sub>0</sub>) για είσοδο αδ(t-t<sub>0</sub>) λόγω γραμμικότητας και χρονικής ανεξαρτησίας). Κάθε σημείο της εξόδου επηρεάζεται από πολλά σημεία της εισόδου λόγω της μνήμης του συστήματος (π.χ. αν η κρουστική απόκριση είναι μη μηδενική στο διάστημα [0,5] του πεδίου ορισμού της, τότε μία ώθηση στο σημείο t<sub>0</sub> της εισόδου συμβάλλει στο σχηματισμό της εξόδου σε όλο το διάστημα [t<sub>0</sub>,t<sub>0</sub>+5] του πεδίου ορισμού της) αλλά όλη η διαδικασία του, φαινομενικά περίπλοκου, υπολογισμού μπορεί να μοντελοποιηθεί τέλεια από τη μαθηματική πράξη της [[συνέλιξη|συνέλιξης]] μεταξύ των δύο συναρτήσεων x(t) και h(t). Η εν λόγω συνέλιξη, με κατάλληλη ολοκλήρωση, δίνει ως αποτέλεσμα μία νέα συνάρτηση y(t) η οποία στην περίπτωση αυτή είναι η έξοδος του συστήματος (y(t) = x(t)*h(t)). Η κρουστική απόκριση συνήθως μετράται με εμπειρικά μέσα και το ρόλο της κρουστικής εισόδου δ(t) μπορεί να παίξει οποιαδήποτε είσοδος είναι "επαρκώς σύντομη" για τα δεδομένα του συστήματος (π.χ. με γυμνό [[μάτι]] οποιοδήποτε [[αστέρι]] ή [[πλανήτης]] του νυχτερινού ουρανού δρα ως δ(t) για το ανθρώπινο οπτικό σύστημα και η μικροσκοπική αστρική εικόνα που τελικά βλέπουμε είναι η κρουστική απόκριση του ματιού).
▲Μία εναλλακτική μέθοδος αποσύνθεσης όπως προαναφέρθηκε είναι η αποσύνθεση Φουριέ, με την οποία αναλύουμε ένα οποιοδήποτε περιοδικό σήμα σε άθροισμα απείρων ημιτόνων, όλων των δυνατών συχνοτήτων, τα οποία σχηματίζουν αθροιζόμενα το ολικό αρχικό σήμα. Κάθε ένα από αυτά τα ημίτονα συμμετέχει με διαφορετικό πλάτος στο ολικό σήμα και ο μαθηματικός [[μετασχηματισμός Φουριέ]] μας λέει κατά πόσο συμμετέχει κάθε πιθανή συχνότητα στο σχηματισμό του. Έτσι π.χ. ο μετασχηματισμός Φουριέ ενός απλού ημιτονοειδούς σήματος είναι η κρουστική συνάρτηση, μία ώθηση, καθώς το ημίτονο περιέχει μόνο μία συχνότητα. Η σημασία της αποσύνθεσης Φουριέ έγκειται στο ότι σε ένα ΓΧΑ σύστημα η έξοδος για ημιτονοειδή είσοδο είναι πάλι ένα ημίτονο, ίδιας συχνότητας αλλά διαφορετικού πλάτους και φάσης. Έτσι μπορούμε να εκφράσουμε την έξοδο ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο ως άθροισμα απείρων ημιτόνων, ίδιων συχνοτήτων με τα ημίτονα που αθροιζόμενα παράγουν την είσοδο αλλά με κατάλληλα τροποποιημένη (λόγω της επίδρασης του συστήματος) φάση και πλάτος. Ας σημειωθεί ότι ο μετασχηματισμός Φουριέ απεριοδικών σημάτων είναι συνεχής, δηλαδή το συχνοτικό φάσμα των σημάτων περιέχει μη μετρήσιμα άπειρες διαφορετικές συχνότητες. Αντιθέτως ο μετασχηματισμός Φουριέ [[περίοδος|περιοδικών]] σημάτων (γνωστός και ως σειρά Φουριέ) είναι διακριτός, δηλαδή το φάσμα των σημάτων περιέχει μετρήσιμα άπειρες διαφορετικές συνιστώσες: ένα ημίτονο της θεμελιώδους συχνότητας (η οποία είναι η συχνότητα του αρχικού, ολικού περιοδικού σήματος) και άπειρα ημίτονα που οι συχνότητες τους είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους (αρμονικές συνιστώσες).
== Δείτε επίσης ==
| |||