Συνάρτηση ζήτα Ρήμαν: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Oxy86 (συζήτηση | συνεισφορές) Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Oxy86 (συζήτηση | συνεισφορές) Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 1:
Η '''συνάρτηση ζήτα''' ή '''συνάρτηση ζήτα του Riemann''', από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού [[Μπέρναρντ Ρίμαν]] είναι μια συνάρτηση με ιδιαίτερη σημασία στη [[θεωρία αριθμών]], λόγω της σχέσης της με την κατανομή των [[πρώτος αριθμός|πρώτων αριθμών]]. Έχει επίσης εφαρμογές σε άλλα πεδία, όπως η [[φυσική]], η [[θεωρία πιθανοτήτων]] και η εφαρμοσμένη [[στατιστική]].
== Ορισμός ==
[[Image:zeta.png|thumb|Η ζήτα συνάρτηση για πραγματικούς μεγαλύτερους του 1.]]
Η '''συνάρτηση ζήτα''' <math>\zeta(s)</math> είναι συνάρτηση μιας [[μιγαδικός αριθμός|μιγαδικής μεταβλητής]] s και ορίζεται από την ακόλουθη άπειρη σειρά, αρκεί ο μιγαδικός αριθμός s να έχει πραγματικό μέρος
:<math>\zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s}</math>
Γραμμή 9:
Στην περιοχή <math>\{s \in\mathbb{C}: Re(s) > 1\}</math>, αυτή η σειρά συγκλίνει και ορίζει μια συνάρτηση αναλυτική σε αυτή την περιοχή.
Η συνάρτηση ζήτα συνδέεται με τους [[πρώτος αριθμός|πρώτους αριθμούς]] με την εξής σχέση,
:<math>\zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}}, \qquad s\in\mathbb{C}: Re(s) > 1,</math>
όπου <math>\mathbb{P}</math> το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών.
Αν ο s είναι ακέραιος, τότε ο παραπάνω τύπος του Όιλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πιθανότητας s το πλήθος τυχαία επιλεγμένοι αριθμοί να είναι μεταξύ τους [[σχετικά πρώτοι|σχετικά πρώτοι]]. Η πιθανότητα αυτή αποδεικνύεται ότι ισούται με 1/ζ(s).
== Επεκτάσεις ==
| |||