Θεώρημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Ρομπότ: Προσθήκη: xal:Таалһн |
Xqbot (συζήτηση | συνεισφορές) μ Ρομπότ: Προσθήκη: scn:Tiurema; διακοσμητικές αλλαγές |
||
Γραμμή 1:
[[
Στα [[μαθηματικά]], ένα θεώρημα είναι μια πρόταση που [[μαθηματική απόδειξη|αποδεικνύεται]] με βάση προηγουμένως αποδεκτές ή αποδεδειγμένες προτάσεις όπως τα [[αξίωμα|αξιώματα]].
Στην τυπική [[μαθηματική λογική]], η έννοια '''θεώρημα''' μπορεί να ερμηνευθεί ως μια [[μαθηματική πρόταση]] που μπορεί να [[τυπική απόδειξη|παραχθεί]] σύμφωνα με τους [[συμπερασματικό σύστημα|συμπερασματικούς κανόνες]] ενός συγκεκριμένου [[τυπικό σύστημα|τυπικού συστήματος]].
Η βασική ιδιότητα των θεωρημάτων είναι ότι παράγονται χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο από [[συμπερασματικός κανόνας|συμπερασματικούς κανόνες]] και [[αξίωμα|αξιώματα]] χωρίς επιπλέον υποθέσεις.
Οι αποδείξεις των θεωρημάτων έχουν δυο μέρη, που λέγονται '''[[υπόθεση|υποθέσεις]]''' και '''συμπεράσματα'''.
Αν και μπορούν να γραφούν σε τελείως συμβολική μορφή με χρήση, για παράδειγμα, του [[προτασιακός λογισμός|προτασιακού λογισμού]], τα θεωρήματα πιο συχνά γράφονται σε φυσική γλώσσα όπως π.χ. τα [[Ελληνική γλώσσα|Ελληνικά]] ή τα [[Αγγλική γλώσσα|Αγγλικά]].
Λόγω του ότι τα θεωρήματα βρίσκονται στον πυρήνα των μαθηματικών, είναι επίσης κεντρικά και στην αισθητική τους.
== Τυπικές και άτυπες έννοιες ==
Στη [[λογική]], τα περισσότερα θεωρήματα έχουν τη μορφή [[υποθετικός προσδιορισμός|υποθετικών προσδιορισμών]]: ''αν Α, τότε Β''.
Για να είναι δυνατό να αποδειχθεί, ένα θεώρημα θα πρέπει να είναι δυνατό να εκφραστεί ως μια ακριβής, τυπική πρόταση.
[[
Συχνά στα μαθηματικά επιλέγεται ένας αριθμός υποθέσεων που θεωρούνται αληθείς σε μια δεδομένη θεωρία, και στη συνέχεια λέγεται ότι η θεωρία αποτελείται από όλα τα θεωρήματα που αποδεικνύονται με αυτές τις υποθέσεις.
Ορισμένα θεωρήματα είναι ''προφανή,'' με την έννοια ότι έπονται απο ορισμούς, αξιώματα, και άλλα θεωρήματα με προφανή τρόπο, και οι αποδείξεις τους δεν περιέχουν ιδιαίτερα εκπληκτικούς και ενδιαφέροντες συλλογισμούς.
Υπάρχουν κάποια θεωρήματα για τα οποία υπάρχει γνωστή απόδειξη, αλλά αυτή δεν είναι δυνατό να γραφεί εύκολα.
Γραμμή 30:
Τα θεωρήματα συχνά υποδηλώνονται από αρκετούς άλλους όρους. Η ίδια η ετικέτα '''''Θεώρημα''''' φυλάσσεται για τα σημαντικότερα αποτελέσματα, ενώ τα αποτελέσματα που είναι λιγότερο σημαντικά ή διακρίνονται με άλλους τρόπους ονομάζονται από την ακόλουθη ορολογία:
* Η '''''[[Πρόταση (μαθηματικά)|πρόταση]]''''' είναι μία δήλωση που δεν συνδέεται με κάποιο συγκεκριμένο θεώρημα. Αυτός ο όρος μερικές φορές υπονοεί για μια δήλωση ότι έχει απλή απόδειξη ή ότι είναι βασική συνέπεια ενός ορισμού που χρειάζεται να δηλωθεί αλλά είναι αρκετά εμφανής ώστε να μην χρειάζεται απόδειξη.
* Το '''''[[Λήμμα (μαθηματικά)|λήμμα]]''''' είναι ένα "προθεώρημα", μία δήλωση που σχηματίζει μέρος της απόδειξης ενός μεγαλύτερου θεωρήματος. Η διάκριση μεταξύ των θεωρημάτων και των λημμάτων είναι μάλλον αυθαίρετη, μιας και το μείζον αποτέλεσμα του ενός [[μαθηματικός|μαθηματικού]] είναι η ελάσσων αξίωση ενός άλλου. Το [[Λήμμα του Γκάους (πολυώνυμο)|Λήμμα του Γκάους]] και το [[Λήμμα του Ζορν]], για παράδειγμα, είναι αρκετά ενδιαφέροντα ώστε μερικοί συγγραφείς να τα παρουσιάζουν χωρίς να έχουν πρόθεση να τα χρησιμοποιήσουν στην απόδειξη κάποιου θεωρήματος.
* Το '''''[[πόρισμα]]''''' είναι μια πρόταση που συνεπάγεται με μικρή ή και καθόλου απόδειξη από ένα άλλο θεωρήμα ή ορισμό. Αυτό σημαίνει ότι η πρόταση ''Β'' είναι πόρισμα της πρότασης ''Α'' αν η ''Β'' μπορεί γρήγορα να συναχθεί από την ''Α''.
Γραμμή 39:
* '''''[[Ταυτότητα (μαθηματικά)|Ταυτότητα]]''''', που χρησιμοποιείται για θεωρήματα τα οποία δηλώνουν μια ισότητα μεταξύ δύο μαθηματικών εκφράσεων. Παραδείγματα αποτελούν η [[Ταυτότητα του Όιλερ]] και η [[Ταυτότητα του Βαντερμόντ]].
* '''''Κανόνας''''', που χρησιμοποιείται για ορισμένα θεωρήματα, όπως ο [[Κανόνας του Μπαίυες]] και ο [[Κανόνας του Κράμερ]], που αποδεικνύουν χρήσιμους τύπους.
* '''''[[Νόμοι της επιστήμης|Νόμος]]'''''. Παραδείγμα αποτελούν ο [[Νόμος των μεγάλων αριθμών]], ο [[Νόμος των συνημιτόνων]] και ο [[Νόμος μηδέν-ένα του Κολμογκόροφ]].<ref>Η λέξη ''[[Νόμοι της επιστήμης|νόμος]]'' μπορεί επίσης να παραπέμπει σε ένα [[
* '''''[[Αρχή]]'''''. Παραδείγματα αποτελούν η [[Αρχή του Χαρνάκ]], η [[Αρχή του ελαχίστου άνω φράγματος]], και η [[Αρχή της θυρίδας]].
* Το '''''[[Αντιστροφή (λογική)|Αντίστροφο]]''''' ενός άλλου θεωρήματος. Για παράδειγμα, αν ένα θεώρημα δηλώνει ότι το ''Α'' έχει σχέση με το ''Β'', τότε το αντίστροφό του θα δήλωνε ότι το ''Β'' έχει σχέση με το ''Α''. Το αντίστροφο ενός θεωρήματος δεν είναι απαραιτήτως πάντα αληθές.
Λίγα πασίγνωστα θεωρήματα έχουν ακόμα πιο ιδιοσυγκρατικά ονόματα. Ο '''[[Αλγόριθμος διαίρεσης]]''' είναι ένα θεώρημα που εκφράζει το αποτέλεσμα της [[Διαίρεση|διαίρεσης]] στους [[Φυσικοί αριθμοί|φυσικούς αριθμούς]] και τους γενικότερους [[Δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτυλίους]]. Το '''[[Παράδοξο των Μπανάχ–Τάρσκι]]''' είναι ένα θεώρημα στη [[Θεωρία μέτρου]] του οποίου το αποτέλεσμα αποτελεί [[
Μία μη-αποδεδειγμένη δήλωση που πιστεύεται πως είναι αληθής καλείται '''''[[εικασία]]''''' (ή ενίοτε '''''υπόθεση''''', αλλά με διαφορετικό νόημα από το παραπάνω). Για να θεωρηθεί εικασία, μια δήλωση πρέπει συνήθως να προταθεί δημόσια, οπότε το όνομα του ατόμου που έκανε την πρόταση μπορεί να προσκολληθεί στην εικασία, όπως με την [[Εικασία του Γκόλντμπαχ]]. Άλλες διάσημες εικασίες αποτελούν η [[Εικασία του Κόλλατζ]] και η [[Υπόθεση του Ρίμαν]].
Γραμμή 98:
[[ru:Теорема]]
[[sc:Teorema]]
[[scn:Tiurema]]
[[sh:Teorem]]
[[simple:Theorem]]
|