Κανονική κατανομή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Ρομπότ: Προσθήκη: en:Normal distribution |
Λυδία (συζήτηση | συνεισφορές) Ιδιότητες |
||
Γραμμή 7:
: <math>
f(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\, e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}
</math>
ονομάζεται κανονικά κατανεμημένη με μέση τιμή μ και [[διακύμανση]] σ<sup>2</sup>. Συμβολίζεται με <math> X\ \sim\ \mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2) </math>.
Για μια τυχαία μεταβλητή <math> Z \sim \mathcal{N}(0,\,1) </math> η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας συμβολίζεται με <math>\
==Ιδιότητες==
====Γραμικοί μετασχηματισμοί====
Η οικογένεια των κανονικών κατανομών είναι κλειστή ως προς τους γραμμικούς μετασχηματισμούς. Αν <math> X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) </math> και <math>a, b \in \R, a>0</math>, η τυχαία μεταβλητή <math>aX + b</math> ακολουθεί επίσης την κανονική κατανομή με
: <math> aX + b\ \sim\ \mathcal{N}(a\mu+b,\, a^2\sigma^2). </math>
Συγκεκριμένα για <math> Z \sim \mathcal{N}(0,\,1) </math> προκύπτει <math> \sigma Z + \mu\ \sim\ \mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2) </math> και αντιστρόφως <math>\frac{X - \mu}{\sigma}\sim \mathcal{N}(0,\,1).</math>
Για τη συνάρτηση κατανομής της Χ ισχύει <math> F(x) = \Phi\Big(\frac{x-\mu}{\sigma}\Big) </math> και για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας <math> f(x) = \tfrac{1}{\sigma}\, \phi\big(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\big) </math>.
====Συμμετρία====
Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι συμμετρική ως προς τη μέση τιμή. Συγκεκριμένα ισχύει <math>\phi(-z)=\phi(z)</math> και
:<math>\Phi(-z)=P[Z\le-z]=1-P[Z\ge -z]=1-P[Z\le z]=1-\Phi(z)</math>
====Διαστήματα εμπιστοσύνης====
Σε μια δειγματοληψεία από κανονική κατανομή το 68,3% των τιμών απέχει το πολύ κατά σ από τη μέση τιμή, βρίσκεται δηλαδη στο διάστημα <math> [\mu-\sigma,\mu+\sigma] </math>.
Το 95,5% των τιμών βρίσκεται στο <math> [\mu-2\sigma,\mu+2\sigma] </math> και το 99,7% στο <math> [\mu-3\sigma,\mu+3\sigma] </math>.
Στη γενική περίπτωση ενός διαστηματος <math>[x_1, x_2]</math> ισχυεί
:<math>P[x_1\le X\le x_2]=\Phi\Big(\frac{x_2-\mu}{\sigma}\Big) - \Phi\Big(\frac{x_1-\mu}{\sigma}\Big).</math>
Αν το διαστημα είναι συμμετρικό ως προς τη μέση τιμή
:<math>P[-x+\mu\le X\le x+\mu]=\Phi\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) - \Phi\Big(\frac{-x}{\sigma}\Big)=2\Phi\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)-1.</math>
▲Για μια τυχαία μεταβλητή <math> Z \sim \mathcal{N}(0,\,1) </math> η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας συμβολίζεται με <math>\varphi(z)</math>.
{{μαθηματικά-επέκταση}}
| |||