Αρμονική πρόοδος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Robot-assisted disambiguation: Μέσος όρος - Changed link(s) to Μέσος όρος αριθμών |
μ Ρομπότ:Αυτόματη επισήμανση ορφανών άρθρων; διακοσμητικές αλλαγές |
||
Γραμμή 1:
{{Ορφανό|ημερομηνία=Απριλίου 2010}}
'''Αρμονική πρόοδος''' είναι η [[ακολουθία]], στην οποία κανένας όρος δεν ισούται με το μηδέν και για δύο διαδοχικούς όρους της α<sub>ν</sub>, α<sub>ν+1</sub> ισχύει ότι <math>\frac{1}{\alpha_{\nu+1}}-\frac{1}{\alpha_{\nu}}=\omega</math>, όπου ω μία σταθερή ποσότητα. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν για οποιουσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους μιας ακολουθίας ισχύει η παραπάνω σχέση τότε αυτή η ακολουθία είναι αρμονική πρόοδος. Έτσι, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο τύπους:
* Γενικός τύπος: <math>\alpha_\nu=\frac{1}{\frac{1}{\alpha_1}+(\nu-1)\omega}</math>
* Αναδρομικός τύπος: <math>\alpha_{\nu+1}=\frac{1}{\omega+\frac{1}{\alpha_{\nu}}}</math>
==Ιδιότητες της προόδου==
* Η γραφική παράσταση της γεωμετρικής προόδου είναι διαδοχικά σημεία ενός κλάδου δίκλαδης [[υπερβολή|υπερβολής]] με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
* Ο '''αρμονικός [[Μέσος όρος αριθμών|μέσος όρος]]''' δύο αριθμών α,γ είναι ο β, [[αν και μόνο αν]] οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.
* Αν ω=0 και τότε η αρμονική πρόοδος είναι άπειροι ίσοι μεταξύ τους όροι με τον α<sub>1</sub>.
{{μαθηματικά-επέκταση}}
| |||