Περιοχή κυρίων ιδεωδών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 7:
*Ο <math>\mathbb{Z}[x]</math> είναι [[ακεραία περιοχή]] όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες <math><2,x></math> υπάρχει <math>h(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> τέτοιο ώστε <math><2,x>=<h(x)></math> προκύπτει ότι <math>h(x)=\pm 1</math> ή<math>h(x)=\pm x</math>.Στην πρώτη περίπτωση έχουμε <math>\pm 1=2k(x)+x</math> ,άτοπο, ενώ στη δέυτερη περίπτωση έχουμε ότι <math>2 \in <2,x>=<h(x)>=<x></math> και άρα <math> 2=x k(x)</math> ,άτοπο.
*Κάθε [[Ευκλείδεια περιοχή]] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.Ένα παράδειγμα περιοχής κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδεια είναι ο δακτύλιος <math>\{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\sqrt{-19};a,b \in \mathbb{Z} ,a\equiv b \pmod{2} \}</math>
[[en:principal ideal domain]]
| |||