Διωνυμική κατανομή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Λυδία (συζήτηση | συνεισφορές) Μοντέλο με κάλπη |
Λυδία (συζήτηση | συνεισφορές) Ασυμπτωτική συμπεριφορά |
||
Γραμμή 38:
Αν η δειγματοληψία γίνει χωρίς επαναφορά, η τυχαία μεταβλητή που δηλώνει τον αριθμό των λευκών μπαλών ακολουθεί την [[υπεργεωμετρική κατανομή]].
==Ασυμπτωτική συμπεριφορά==
===Κανονική κατανομή===
[[Image:Binomial Distribution.svg|right|150px|thumb| Διωνυμική [[συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας|σππ]] σε σύγκριση με την κανονική κατανομή ''n'' = 6 and ''p'' = 0.5]]
Για μεγάλο n η διωνυμική κατανομή συγκλίνει σύμφωνα με το [[θεώρημα de Moivre–Laplace]] στην [[κανονική κατανομή]] με [[μέση τιμή]] <math>np</math> και [[διασπορά]] <math>np(1-p)</math>
:<math> \mathcal{N}(np,\, np(1-p)).</math>.
===Κατανομή Poisson ===
Για <math>\scriptstyle n\rightarrow\infty</math> και <math>\scriptstyle p\rightarrow 0</math> έτσι ώστε ''np'' σταθερό η διωνυμική κατανομή συγκλίνει στην [[κατανομή Poisson]] με παράμετρο ''np=λ''.
:<math>\begin{align}
\lim_{n\to\infty}P(X=k) & =\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\
& =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\lambda^{k}}{k!}\right)\left(\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\\
& =\frac{\lambda^{k}}{k!}\cdot\lim_{n\to\infty}\underbrace{\left(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\right)}_{\to1}\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}}_{\to e^{-\lambda}}\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to1}\\
& =\frac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}
\end{align}</math>
| |||