Ολοκλήρωμα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Το ολολήρωμα Λεμπέγκ βασίζεται τηνστην [[θεωρία μέτρου]]. Χρησημοποιεί το [[μέτρο Λεμπέγκ]], που γενικεύει την έννοια του μήκους.

Αρχικά ολοκληρώνουμε μια απλή συνάρτηση f, δηλαδή μια συνάρτηση με πεπερασμένο πλήθος τιμών, έστω <math>a_i,\, i=1, ..., n</math>.

Θεωρούμε τα υποσύνολα του πεδίου ορισμού <math>\,A_i=\lbrace x | f(x) = a_i \rbrace</math>. Το μέτρο μ(<math>A_i</math>) αυτών των συνόλων αντιστοιχεί στο μήκος τους. Τότε το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ ορίζεται ως

Για να βρούμε το ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης την προσεγγίζουμε με με απλές συναρτήσεις.

Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ αποτελεί γενίκευση του ολοκληρώματος Ρίμαν. Μια συνάρτηση ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν είναι ολοκληρώσιμη κατά ΛεμπεγκΛεμπέγκ και τα δυο ολοκληρώματα έχουν την ίδια τιμή. ΤοΑντιστρόφως αντιστροφομια συνάρτηση ολοκληρώσιμη κατά Λεμπέγκ δεν ισχύειείναι απαραίτητα ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.