Δακτύλιος (άλγεβρα): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

'''Δακτύλιος''' στα μαθηματικά λέγεται μια αλγεβρική δομή, <math><R,+,*></math>, η οποία αποτελείται από ένα [[σύνολο]] R, εφοδιασμένο με δύο διμελείς [[Πράξη (μαθηματικά)|πράξεις]] <math>+</math> και <math>*</math> που ορίζονται σε αυτό, και οι οποίες αποκαλούνται αντίστοιχα ''πρόσθεση'' και ''πολλαπλασιασμός'', έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα [[Αξίωμα (λογική)|αξιώματα]]:

* Το <math><R,+></math> (δηλ. το R μαζί με την πρόσθεση +) είναι μια [[αβελιανή ομάδα]] με ουδέτερο στοιχείο το 0:

** (<i>''a</i>'' + <i>''b</i>'') + <i>''c</i>'' = <i>''a</i>'' + (<i>''b</i>'' + <i>''c</i>'')

** <i>''a</i>'' + <i>''b</i>'' = <i>''b</i>'' + <i>''a</i>''

** 0 + <i>''a</i>'' = <i>''a</i>'' + 0 = <i>''a</i>''

** &forall;∀''a'' &exist;∃(&minus;−''a'') τέτοιο ώστε ''a'' + &minus;−''a'' = &minus;−''a'' + ''a'' = 0

* Ο πολλαπλασιασμός (*) ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα (δηλ.α*(β*γ)=(α*β)*γ).

* Ο πολλαπλασιασμός (*) είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση. Δηλαδή, για κάθε <math>a,b,c\in R</math> ισχύουν ο αριστερός επιμεριστικός νόμος, <math>a*(b+c)=a*b+a*c</math> και ο δεξιός επιμεριστικός νόμος <math>(a+b)*c=a*c+b*c</math>.

Αν ο πολλαπλασιασμός είναι μεταθετικός, δηλαδή ισχύει <i>''a*b</i>''=<i>''b*a</i>'', &forall;∀''a, b'', τότε ο δακτύλιος λέγεται '''αντιμεταθετικός''' ή '''μεταθετικός'''.

# Tο σύνολο των <math>n \times n</math> πινάκων με συνιστώσες (εγγραφές) από ένα σώμα αποτελεί έναν δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο που είναι μεταθετικός μόνο για <math> n=1 </math>.

== Δείτε ακόμη ==

* [[Αντιμεταθετικός δακτύλιος]]

* [[Δακτύλιος ακεραίων]]

* [[Ακέραια περιοχή]]

* [[Σώμα (άλγεβρα)|Σώμα]]