Σύνολο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Ένα '''σύνολο''' είναι μιακάθε συλλογή σαφώς διακριτών αντικειμένων (τηςκαι πραγματικότηταςκαλώς ήκαθορισμένων καιαντικειμένων που προέρχονται από τον χώρο της διαίσθησηςεμπειρίας ή της σκέψηςδιανοήσεώς μας) και που θεωρείταιλαμβάνονται ως μια ονότητα και αποτελεί και το ίδιο ένα αντικείμενοενότητα. Η έννοια του '''συνόλου''' είναι '''«αρχική έννοια»''' για τα [[Μαθηματικά]], δηλαδή τη δεχόμαστε [[αξίωμα|αξιωματικά]], χωρίς [[απόδειξη]]. Παρόλο που εφευρέθηκε (μόλις, δηλαδή σχετικά πρόσφατα) στο τέλος του [[19ος αιώνας|19ο αιώνα]], η [[Θεωρία Συνόλων]] είναι πια ένα πανταχού παρόνπαρών τμήμα των Μαθηματικών και μπορεί να θεωρηθεί το θεμέλιο σχεδόν όλης της επιστήμης των Μαθηματικών. Στην Εκπαίδευση, στο μάθημα των Μαθηματικών, κάποια (σχετικά απλά) τμήματά της, όπως τα [[διάγραμμα Venn|διαγράμματα Venn]], αρχίζουν να διδάσκονται συνήθως από την ύλη του Γυμνασίου (ή τις ανάλογες τάξεις, ανάλογα με τη χώρα), ενώ άλλα (πιο πολύπλοκα) διδάσκονται ως τμήμα της ύλης [[πανεπιστήμιο|πανεπιστημιακού]] επιπέδου.

O [[Γκεόργκ Καντόρ]], ιδρυτής της [[Θεωρία Συνόλων|Θεωρίας Συνόλων]]<ref>Δημιούργησε τη θεωρία και μαζί μια ολόκληρη [[φιλοσοφία]], αλλά από μαθηματικής σκοπιάς κατέληξε και σε ορισμένα [[μαθηματικά παράδοξα]] όπως το παράδοξο του Russell, με αποτέλεσμα να τεθεί σε αμφισβήτηση ολόκληρη η θεωρία του και χρειάστηκε να διορθωθεί αργότερα. Άρα, ο παρακάτω ορισμός δε θεωρείται απόλυτα ακριβής στα σύγχρονα Μαθηματικά.</ref>, στο «''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre''», έδωσε τον ακόλουθο ορισμό για το σύνολο:

Τα αντικείμενα αυτά καλούνται '''στοιχεία''' του συνόλου και μπορούν να είναι οτιδήποτε, από αριθμούς μέχρι ανθρώπους ή γράμματα του αλφαβήτου. Ένα σύνολο λοιπόν ''αποτελείται'' από στοιχεία. Στοιχεία ενός συνόλου μπορεί να είναι άλλα σύνολα ή και σύνολα συνόλων. Αν το στοιχείο x ανήκει στο σύνολο Α τότε λέμε ότι το στοιχείο x '''περιέχεται''' στο σύνολο A ή ότι το σύνολο A ''περιέχει'' το στοιχείο x ή ακόμα ότι το στοιχείο x είναι '''μέλος''' του συνόλου A. Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό <math> \mathrm{x \in A}</math> αν το x ανήκει το A και το συμβολισμό <math>\mathrm{x \notin A}</math> αν το x δεν ανήκει στο A.

Επιπλέον των παραπάνω απαιτούμε από τα στοιχεία ενός συνόλου να είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, το οποίο σημαίνει ότι ένα σύνολο δεν μπορεί να περιέχει περισσότερες από μιαμία φορές ένα στοιχείο.

Για να περιγράψουμε ένα σύνολο συνήθως χρησιμοποιούμε δύο άγκιστρα «{» και «}» ανάμεσα στα οποία γράφουμε τα στοιχεία του συνόλου. Για παράδειγμα το σύνολο Α που περιέχει τους αριθμούς 1, 3 και 5 γράφεται ως εξής: Α = {1,3,5}. Η σειρά με την οποία αναγράφονται τα στοιχεία ενός συνόλου δεν έχει κανένα ρόλο. ΈναςΣημειώνεται, δεύτεροςότι τρόποςαν περιγραφήςένα ενόςσύνολο συνόλουμε είναιάπειρο νααριθμό δώσουμεστοιχείων μιαείναι ιδιότητα''αριθμήσιμο'' καιτότε ναη απαιτούμεπαράστασή νατου ανήκουνγίνεται στομε σύνολοτην τααναγραφή στοιχείααρκετών πουστοιχείων ικανοποιούντης τηνσειράς ιδιότητατων καιαπείρων μόνοόρων αυτά. Γιαπου παράδειγμαορίζει το σύνολο τωναυτό. μηΠαράδειγμα αρνητικώνη [[άρτιοιαναγραφή αριθμοί|άρτιων]]τού συνόλου όλων των [[φυσικός αριθμός|φυσικών αριθμών]] γράφεται ως εξής: <math> \beginmathrm{Bmatrix}2k:k \in \mathbb{N}\end{Bmatrix}</math> = {0, 1, 2, 3, ...}.

<math>\mathrm{ >X\subsetneq Y}</math>.