Απολλώνιο πρόβλημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Αν δύο από τους τρεις δοσμένους κύκλους δεν τέμνονται, το κέντρο της αντιστροφής μπορεί να επιλεχθεί ώστε οι αυτοί οι δύο δοσμένοι κύκλοι να γίνουν ομόκεντροι.<ref name="coxeter_1968" /><ref name="bruen_1983"/> Με αυτή την αντιστροφή οι κύκλοι-λύσεις πρέπει να βρίσκονται εντός του [[Δακτύλιος (γεωμετρία)|δακτύλιουδακτυλίου]] που σχηματίζεται από τους ομόκεντρους κύκλους. Συνεπώς ανήκουν σε δύο μονοπαραμετρικές οικογένειες. Στην πρώτη οικογένεια (Σχήμα&nbsp;7), οι λύσεις δεν περικλείουν τον εσωτερικό ομόκεντρο κύκλο ενώ στην δεύτερη οικογένεια (Σχήμα&nbsp;8), οι κύκλοι-λύσεις περικλείουν τον εσωτερικό ομόκεντρο κύκλο. Υπάρχουν εν γένει τέσσερειςτέσσερις λύσεις για κάθε οικογένεια, δίνοντας συνολικά οκτώ πιθανές λύσεις, διατηρώντας την συνέπεια με την [[#Αλγεβρικές λύσεις|αλγεβρική λύση]].

[[Αρχείο:Apollonius annulus no eqs black.svg|thumb|left|Σχήμα 7: Ένας κύκλος-λύση (ροζ) στην πρώτη οικογένεια βρίσκεται μεταξύ ομόκεντρων δοθέντων κύκλων (μάυροιμαύροι). Το διπλάσιο της ακτίνας της λύσης ''r''_''s'' ισούται με την διαφορά {{nowrap|''r''_''outer'' − ''r''_''inner''}} των εξωτερικών και εσωτερικών ακτίνων, ενώ η διπλάσια κεντρική απόσταση ''d''_''s'' ισούται με το το άθροισμά τους.]]

Η χρησιμότητα της [[Γεωμετρία της αντιστροφής|αντιστροφής]] μπορεί να αυξηθεί σημαντικά με την αλλαγή μεγέθους.<ref name="johnson_1929"/><ref name="ogilvy_1969"/> Όπως σημειώθηκε στην [[#Η ανακατασκευή του Βιέτ|ανακατασκευή του Βιέτ]], οι τρεις δεδομένοι κύκλοι και ο κύκλος λύση μπορούν να αλλάξουν μέγεθος ενώ διατηρούν την επαφή τους. Έτσι το αρχικό απολλώνιο πρόβλημα μετασχηματίζεται σε ένα άλλο που ενδεχομένωενδεχομένως είναι ευκολότερο να λυθεί. Για παράδειγμα, οι τέσσερις κύκλοι μπορούν αν αλλάξουν μέγεθος ώστε ο ένας δοσμένος κύκλος να ελαττωθεί σε σημείο, εναλλακτικά, συχνά δύο δοσμένοι κύκλοι μπορούν ματαβληθούνμεταβληθούν ώστε εφάπτονται μεταξύ τους. Και τρίτον, δύο δοσμένοι κύκλοι που τέμνονται μπορούν να ρυθμιστούν ώστε να μην τέμνονται, ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί η [[#Αντιστροφή σε δακτύλιο|αντιστροφή σε δακτύλιο]]. Σε όλες αυτές τις περιπτώσει η λύση του απολλώνιο προβλήματος μπορεί να ανακτηθεί από το μετασχηματισμένο πρόβλημα με την άρση της αλλαγής μεγέθους και της αντιστροφής.

Στην πρώτη προσέγγιση, οι δοσμένοι κύκλοι μειώνονται ή μεγενθύνονταιμεγεθύνονται (αναλογικά με την επαφή) μέχρι κάποιος από αυτούς να ελαττωθεί σε σημείο ('''P''').<ref name="johnson_1929">{{cite book| author = Johnson RA| year = 1960| title = Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle| edition = reprint of 1929 edition by Houghton Mifflin| publisher = Dover Publications| location = New York| pages = 117–121 (Apollonius' problem), 121–128 (Casey's and Hart's theorems)| isbn = 978-0486462370}}</ref> Σε αυτή την περίπτωση το απολλώνιο πρόβλημα εκφυλίζεται στην περίπτωση '''ΚΚΣ''', που είναι το πρόβλημα εύρεση ενός κύκλου που να εφάπτεται σε δύο κύκλους και να διέρχεται από το σημείο '''P'''. Η αντιστροφή σε κύκλο με κέντρο το '''P''' μετασχηματίζει τους δύο δοσμένους κύκλους σε δύο νέους και τον κύκλο-λύση σε ευθεία. Έτσι η μετασχηματισμένη λύση είναι μία ευθεία που εφάπτεται στους δύο μετασχηματισμένους δεδομένους κύκλους. Υπάρχουν τέσσερις τέτοιες ευθείες-λύσεις, που μπορούν να κατασκευαστούν από το εξωτερικό και το εσωτερικό [[ομοθετικό κέντρο]] των δύο κύκλοωνκύκλων. Η άρση της αναστροφής και της αλλαγής μεγέθους μετασχηματίζει αυτές τις λύσεις στον επιθυμητό κύκλο-λύση του αρχικού απολλώνιου προβλήματος. Όλες οι οκτώ γενικές λύσεις μπορούν να ανακτηθούν από την αλλαγή μεγέθους των κύκλων ανάλογα με τις εσωτερικές και εξωτερικές επαφές της κάθε λύσης, εντούτοις πρέπει να ελαττωθούν σε σημείο διαφορετικοί κύκλοι για διαφορετικές λύσεις.

===== Αλλαγή μεγέθους ώστε δύο δοσμένοι κύκλοι να αλλοεφάπτονταιαλληλοεφάπτονται =====