Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Συνάρτηση»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
Στα [[μαθηματικά]] '''συνάρτηση''' ή '''απεικόνιση''' ορίζεται ως μία [[σχέση (μαθηματικά)|σχέση]] μεταξύ δυο [[σύνολο|συνόλων]] τέτοια ώστε κάθε στοιχείο του ενός συνόλου (πεδίο ορισμού) σχετίζεται με ένα μοναδικό (αλλά πιθανώς ίδιο) στοιχείο ενός άλλου συνόλου (σύνολο τιμών).
 
Αν για παράδειγμα έχουμεΈστω ''Χ'' το πεδίο ορισμού και ''Y'' το σύνολο τιμών τότε μία συνάρτηση ''<math>f'':X\to Y</math> είναι μια αντιστοίχιση από κάθε στοιχείο του πεδίο ορισμού ''X'' (έστω ''x'') σε ένα και μόνο στοιχείο του ''Y''συνόλου (έστωτιμών ''yY''). Αυτό συνήθως γράφεται ''<math>\forall x \in X \; \exists \vert\, y''='' \in Y : f''(''x'')=y</math>.
 
Η συνάρτηση λέγεται ''ένα προς ένα'' (1-1), αν οποιαδήποτε δύο διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία του πεδίου ορισμού έχουν '''υποχρεωτικά''' διαφορετικές εικόνες. Δηλαδή, για μία συνάρτηση ''f'', οποιαδήποτε ''<math>x_1</math>'', ''<math>x_2</math>'',που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της,να ισχύει: αν ''f''(''<math>x_1</math>'')=''f''(''<math>x_2</math>'') τότε ''<math>x_1</math>''=''<math>x_2</math>''. Αν επιπλέον οι απεικονίσεις του πεδίου ορισμού καλύπτουν όλο το σύνολο τιμών (για κάθε ''y'' του ''Y'' υπάρχει ''x'' του ''X'' τέτοιο ώστε ''y''=''f''(''x'') ) τότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι ''ένα προς ένα και επί''.Όταν συμβαίνει αυτό λέμε πως η συνάρτηση <math>y=f(x)</math> είναι αντιστρέψιμη, και η αντίστροφή της είναι η <math>x=f^{-1}(y)</math>.Οι γραφικές παραστάσεις στο καρτεσιανό επίπεδο δύο συντεταγμένων, ''x'' για τον οριζόντιο άξονα και ''y'' για τον κατακόρυφο, των συναρτήσεων <math>f</math> και <math>f^{-1}</math> είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία με εξίσωση <math>y=x</math>.
:<math>\forall x_1, x_2 \in X : f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2</math>
Αν επιπλέον οι απεικονίσεις του πεδίου ορισμού καλύπτουν όλο το σύνολο τιμών (για κάθε ''y'' του ''Y'' υπάρχει ''x'' του ''X'' τέτοιο ώστε ''y''=''f''(''x'') ) τότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι ''ένα προς ένα και επί''.
:<math>\forall y \in Y\, \exists\, x \in X: y=f(x) </math>
Μία ένα προς ένα και επί συνάρτηση <math>\;f:X\to Y\;</math> είναι αντιστρέψιμη, και η αντίστροφή της είναι η <math>\;f^{-1}:Y\to X\;</math> με <math>\,f^{-1}(y)=x\,</math> τέτοιο ώστε <math>\,f(x)=y\,</math>.Οι γραφικές παραστάσεις στο καρτεσιανό επίπεδο δύο συντεταγμένων, ''x'' για τον οριζόντιο άξονα και ''y'' για τον κατακόρυφο, των συναρτήσεων <math>\,f\,</math> και <math>\,f^{-1}\,</math> είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία με εξίσωση <math>\,y=x\,</math>.
 
 
Ανώνυμος χρήστης